哥德巴赫猜想的一个等价命题

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1、第28卷第6期德州学院学报VO1．28，NO．62012年12月JournalofDezhouUniversityDec．，2Ol2哥德巴赫猜想的一个等价命题叶雉鸠(陕西财经职业技术学院陕西成阳712000)摘要：提出了哥德巴赫猜想的一个等价命题．论证了该命题与哥德巴赫猜想的等价性关键词：哥德巴赫猜想；等价命题；同余式方程组；正整数解中圈分类号：O156．1文献标识码：A文章编号：1004—9444(2012)060059—04其中：(1)式方程左边的被减项是不大于2n的所有顺序1命题B的提出排列的所有奇素数的全集，一个奇素数也不能少；(

2、1)式方程右边的模的集合是不大于,／G的所有奇素数的子集(或全集)，可以作模域理解．1742年，哥德巴赫提出了著名的哥德巴赫猜想(GoldbachConjecture)——每个不小于6的偶数都2命题A与命题B代数表示可以表示为两个奇素数之和．原命题每个不小于6的偶数都可以表示为两首先定义三个集合：个奇素数之和．{奇素数}一{3，5，7，1l，⋯⋯)=P由于小于√、√虿的奇素数集合是空集，而且{不大于2n的奇素数}一{3，5，⋯}一PP6、8的情况下可以赋值验证，所以原命题可以转化{不大于,／g的奇素数}==={3，5，⋯Pc}一P为命题A

3、．2．1命题A的代数表示命题A每个不小于10的偶数都可以表示为设a三三=4且a∈N，则V(2a+2)有2n十2=两个奇素数之和．C+C，其中Cl∈PP，C2∈PP，C1≤文中仅证明命题A与下列命题B等价性．C2．命题B对于任意大于10的偶数2n+2(“42．2命题B的代数表示，且a∈N)，下列方程组(1)无正整数解．用代数式表示命题B如(2)式所示，对于V(2a(1)2“+2一p三0(modp(^)≤2a≤，max(po，Po一Po)≤收稿日期：2011一O8—27作者简介：叶雉鸠(1956一)。男，陕西乾县人，副教授，硕士，研究方向：数

4、论6O德州学院学报第28卷‘．。Cl∈P，3≤2a十2一(l<2＆。．．f2n+2一P}{小于2n且大于3的奇合数}(7)’．对于V小于2a且大于3的奇合数，均可被小于的奇素数之一所整除，且{Po，Poz，Po，⋯Po}(=={3，5，7，⋯P}一P‘．．](2a+2)使得(1)式(2)式有解．即命题B不成立．4等价命题的解读4．1等价命题的思路．把方程组(1)左边看做一个自然数集合E，把(1)同余式方程右边的模也看做一个自然数集合3命题B与命题A等价的证明，凡是E中的合数以及E中小于~／2“的素数均可以被消去．“可以被消去”就意味着“E

5、中的合3．1充分性的证明数以及E中小于~／2n的素数均可以在中的范围内‘．‘命题A成立表示为其相应的方程式有解”，同时“E中大于~／即V(2a+2)有2n+2一C+C。，其中C∈P的素数无论如何都不会在的范围内表示为其相，C2∈P^，C1≤C2应方程式有解”．如果E中至少存在一个大于~／2n。．．C≤＆+1，且C：三三=n+1的素数，那么其相应方程式在中的范围内无解，方。．．C∈{不大于n+1的奇素数)，且c：∈程式无解则方程组无解，此时即宣告在的范围内{不小于“+1的奇素数)(3)“方程组(1)无正整数解”．观察自然数集合E的被。．’c

6、z∈{不小于n+1的奇素数}减项是一个奇素数，“E中至少存在一个大于~／2“‘．．C三0mod(p)，当P，∈P时恒无解(4)的素数”就意味着2“此时已经被表示为E的被减项又．2n+2一C】+C2，C1∈P^那个奇素数和这个大于~／2n的素数之和了，这就是。··2“+2一Cl===C2，C2∈{2口+2一P)(5)哥德巴赫猜想的本意．‘．’(4)、(5)、{P，Poz，P。。，⋯Po}(==4．2命题B的要点{3，5，7，⋯p6)一Pb该同余式方程组(1)的特点是。．．(1)式(2)式无解1)(1)式同余式方程左边的被减项的约定即命题B成

7、立．(1)式方程左边的被减项是不大于2“的所有顺3．2必要性的证明序排列的所有奇素数的全集，一个奇素数也不能少‘．‘命题A不成立．为了确保(1)式方程左边的数值不小于3，所以在。．．了(2a+2)没有2n+2===C+C。，其中C∈左边统一加2，这并不影响证明推论的逻辑一致性．尸，∈P，C≤C，仅有2a+2一C+C，其中(1)式也可以理解为：“对于任意大于lO的偶数2“C∈P，Cz∈{奇合数}，即+2(n三三4，且Ⅱ∈N)，方程组(1)式无正整数解”．{2口+2一P}{奇合数)(6)2)(1)式方程右边模的约定第6期叶雉鸠：哥德巴赫猜想的

8、一个等价命题61(1)式方程右边的模的集合是不大于~／的所1)充分性的证明有奇素数的子集(或全集)，上下出现时无须按照大命题A成立对于任意大于10的偶数2n+2dql~,序排列，亦可重复出现，