2013国际建模布朗尼蛋糕盘设计一等奖论文

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1、b最终的布朗尼蛋糕盘Team#23686February5,2013摘要Summary/Abstract为了解决布朗尼蛋糕最佳烤盘形状的选择问题，本文首先建立了烤盘热量分布模型，解决了烤盘形态转变过程中所有烤盘形状热量分布的问题。又建立了数量最优模型，解决了烤箱所能容纳最大烤盘数的问题。然后建立了热量分布最优模型，解决了烤盘平均热量分布最大问题。最后，我们建立了数量与热量最优模型，解决了选择最佳烤盘形状的问题。模型一：为了解决烤盘形态转变过程中所有烤盘形状热量分布的问题，我们假设烤盘的任意一条边

2、为半无限大平板，结合第三边界条件下非稳态导热公式，建立了不同形状烤盘的热量分布模型，模拟出不同形状烤盘热量分布图。最后得到结论：在烤盘由多边形趋于圆的过程中，烤焦的程度会越来越小。模型二：为了解决烤箱所能容纳最大烤盘数的问题，本文建立了随烤箱长宽比变化下的数量最优模型。求解得到烤盘数目随着烤箱长宽比和烤盘边数变化的函数如下：模型三：本文定义平均热量分布为未超过某一温度时的非烤焦区域占烤盘边缘总区域的百分比。为了解决烤盘平均热量分布最大问题，本文建立了热量分布最优模型，求解得到平均热量分布随着烤箱

3、长宽比和形状变化的函数如下：结论是：当烤箱长宽比为定值时，正方形烤盘在烤箱中被容纳的最多，圆形烤盘的平均热量分布最大。当烤盘边数为定值时，在长宽比为1:1的烤箱中被容纳的烤盘数量最多，平均热量分布最大。模型四：通过对函数和函数作无量纲化处理，结合各自的权重和，本文建立了数量和热量混合最优模型，得到烤盘边数随bb值和的函数。当，时，此时的。Contents1Analysis32ModelAssumptions33Modelingandsolving33.1Definition43.2Model14

4、3.3Model2103.4Model3113.5Model4134References155Appendix151.问题分析Analysis本文讨论了在有限的烤箱内，不同形状烤盘的外部边缘的热量的分布问题。当烤箱内部预热到一定时间时，烤箱内温度达到一个均衡值。由于预热的一段时间很短，我们假设在烤箱的工作时间，炉内热量分布是均匀的。因此烤箱内的气体可以看成为温度不变的流体。烤盘的每一条边都可以看成无限大平板在一维时的情况。可以建立半无限大平板在第三类边界条件下的一维非稳态导热函数，并结合多维非稳

5、态导热的乘积解法，可以得到多边形烤盘在二维的热量分布。然后模拟出多边形烤盘热量分布的图像，通过观察，得到各种形状烤盘所受到的热量分布情况。问题二：讨论烤箱所能够容纳烤盘数最多的情况。实际上也就是讨论多边形在区域内的平铺问题。在这里，我们假设为定值。一方面当分别为不同值时，多边形的平铺区域面积会有不同的值。另一方面，多边形在区域的烤盘数量会随着多边形边数的变化而变化。因此，平铺数量会随着和边数bb的变化而变化。讨论烤盘平均热量最大的情况，实际上也就是讨论非烤焦区域面积占总区域面积比例的问题。我们认

6、为烤焦区域面积为温度出现重叠的区域面积。一方面，当分别为不同值时，热量平均分布会有不同的值。另一方面，多边形在区域的热量平均分布会随着多边形边数的变化而变化。因此，热量平均分布会随着和边数的变化而变化。结合以上相关结论，我们可以得到边数会随着热量平均分布和和数量变化而变化。通过作无量纲化处理，数量和平均热量分布的权重分别为和，所以边数会随着和的变化而变化。2.模型假设ModelAssumptions1.忽略不同食材，烘焙时间长短等因素对蛋糕成熟的影响；2.当烤箱工作时，烤箱内的温度为定值；3.假

7、设烤箱内传热主要为导热传热。3.不同形状烤盘热量分布模型3.1烤盘，烤箱的定义本文考虑的烤箱的结构简图（Figure1）：Figure1烤箱结构图本文忽略盘烤的高度，仅考虑烤盘在二维空间内的导热问题,如图2所示：Figure2烤盘形态图图3.2模型建立模型解决烤盘形态转变过程中所有烤盘形状热量分布的问题。当只考虑烤盘的一条边时，此时烤盘相当于半无限大平板。在一维非稳态传热过程中烤盘内的温度。坐标分布如图3所示：bbFigure3半无限大平板加热过程中的温度分析由上图可知，烤盘厚度为时烤盘的加热情

8、况：第一阶段step1：当烤制时间时，空气流体不断的向烤盘内部导热，但是烤盘仍然有部分处于初始温度，未开始加热。当时，空气流体对烤盘的热量正好传到烤盘的内边缘；第二阶段step2：当时，空气流体对整个烤盘加热的一段时间；第三阶段step3：当时，烤盘的温度到达新的稳定状态。烤盘的加热过程的微分方程[1]为：其中，为烤盘的温度，为烤盘的初始温度，为空气流体的温度，且。为空气流体与烤盘间的对流换热系数，且为常数。为加热时间，为烤盘边缘的厚度，为热量传输系数（或导热系数）。定解条件：，，，，（对称性）