布朗尼蛋糕盘设计数学建模二等奖论

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1、布朗尼蛋糕盘摘要电烤箱由于其加热时间短，耗能低，使用便捷的特点，被越来越多的人所认可，并因此成为家电行业的一枝新秀。在电烤箱中，烤盘的形状一般为矩形或圆形，当使用矩形烤盘烘烤食物时，热量集中在四个角上，导致边角处物体因过度受热而变焦，因此虽然矩形烤盘虽然能够有效的利用烤箱空间，但烤出来的食物质量不高。如果用圆形烤盘，热量会平均分布在整个外围边缘，在外围的物体就不会过度受热，而用圆形的烤盘虽能保证质量，但烤箱空间很浪费。那么，如何才能够设计一种烤盘，既能在保证烤出食物质量的同时，尽可能的增加烤箱空间的利用率和食物的视觉效果？在

2、假定烤箱的面积为，宽长比为变量，单个烤盘的面积为,同一烤制过程中烤盘的大小形状都完全相同的情况下，建立数学模型求解了三种问题：即烤盘数量最多的最大空间利用问题，烤盘平均热量分布最大的烤制最佳质量问题，空间利用与烤制质量综合考虑的双目标最优化最大的问题。具体为：首先：为了解决烤箱空间的利用率最大，即烤盘的数量最多的问题，我们建立了单元正规密铺模型，并证明了只有正三角形，正方形，正六边形能够达到无缝隙密铺。并依据已知条件建立了正方形、正六边形的密铺单元个数的上下取整模型，给出了三种情况下的单元个数，得到了正方形单元密铺时，个数最

3、多，并通过实际尺寸为的电烤箱，的烤盘进行了验证，解得，检验了模型的正确性。然后：为了解决烤制质量，即烤盘的平均热量分布最大的问题，我们将温度场的尖端热效应现象类比于电场的尖端热效应现象，建立了温度分布函数的尖端热效应模型，从理论上推导出了温度分布函数、平均热量分布函数与尖端距离、半顶角之间的关系式，分析了其单调关系，得出了当半顶角时，即烤盘为圆形时，曲率最小，最大。通过Matlab对该模型进行了仿真，通过三维仿真温度分布图得知，曲率最大，即圆形密铺时最大，与理论推导结果一致。并通过利用已有的辐射传热模型对尖端热效应模型进行了

4、进一步的验证，证明了该模型的合理性。最后：为了综合考虑烤箱的空间利用率和烤制质量，在宽长比的范围内，引入权重，基于经济学中的埃奇沃思框图理论，考虑效应函数最大，建立了双目标规划最优模型，通过双目标规划模型和蛛网模型两种方法进行求解，均得出当时，正六边形密铺时为最优结果。两种方法求解结果的相同性，达到了验证模型可靠性的目的。并考虑正六边形的尖端圆角化对密铺进行改造，对模型进行了推广，增加烤制质量的同时，还提高了烤制蛋糕的美观性。总之，本文在合理假设的前提下，建立模型对以上三个问题进行了研究，并通过Matlab仿真、实证研究、一

5、题多解等手段对模型进行了验证，最终给出了满足烤箱空间利用率、烤制质量等要求的结果，最终为蛋糕盘的设计奠定了理论基础。1序言家用电烤箱由于其使用价值被越来越多的人所认可，并因此成为家电行业的一枝新秀。近年来，新型电烤箱的技术含量增加，普遍采用远红外加热技术，具有加热时间短，耗能低，使用便捷的特点，深受广大用户的欢迎。从理论上讲，利用红外线加热物体，就是利用辐射波长与物体接收波长一致时，物体吸收大量的红外能，从而加剧物体内部的分子运动，使之加热升温，最终达到烤制的目标。在电烤箱中，一般采用铝制的烤盘作为工具和介质来进行烤制，烤盘

6、的形状依据烤箱内箱的形状来确定，大多数为矩形烤盘。但是，当使用矩形烤盘烘烤食物时，热量集中在四个角上，导致边角处物体因过度受热（以及在较小程度的边缘处）而变焦，因此虽然矩形烤盘虽然能够有效的利用烤箱空间，但烤出来的食物质量不高。如果用圆形烤盘，热量会平均分布在整个外围边缘，在外围的物体就不会过度受热。然而，由于大多数的烤箱都是矩形的，而用圆形的烤盘虽能保证质量，但烤箱空间很浪费。这给烤箱的使用者造成了很大困扰。如何能在保证烤出食物质量的同时，尽可能的增加烤箱空间的利用率和食物的视觉效果，成为一个值得研究的问题。2.烤箱内的热

7、传导分析与基本知识2.1烤箱内的热传导分析解决烤箱内烤盘边缘的热量分布问题之前，首先需要了解烤箱的加热原理。通过烤箱的使用说明书可知其加热原理为：电阻丝通电变热，期间使电能转化为热能，箱体内的温度随之提高，继而对食物进行烘烤至熟。这个过程是由外至里的，通俗的理解，烤箱就像一个封闭的炉子，其内部主要是靠热辐射来达到热量传递。观察烤箱的内部结构不难发现，烤箱内部一般装有风扇或留有进、出风口，这样就会使烤箱内部由于对流传热而达到一个温度均匀的状态。那么是什么因素导致有的蛋糕会烤焦呢？为解决这个疑问，分析烤箱的内部机理，可以得知：热

8、传递过程往往是传导、对流与辐射同时进行或至少其中两种同时进行，而由烤箱热源发出的辐射热混合对流过程后，烤箱内部整个空间的空气的温度都是均匀的，也就是说，烤盘边缘温度分布与热传导过程有关。接下来要具体分析一下这个结论的正确性。热传导实质是由大量物质的粒子热运动互相撞击，而使能量从物体的高温部