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1、实验五、FIR数字滤波器的设计一、实验目的(1)掌握用窗口函数法、频率采样法及优化设计法设计FIR滤波器的原理及方法，熟悉响应的MATLAB编程。(2)熟悉线性相位FIR滤波器的幅频特性和相频特性。(3)了解各种不同窗函数对滤波器性能的影响。二、实验原理线性相位实系数FIR滤波器按其N值奇偶和h(n)的奇偶对称性分为四种：1、h(n)为偶对称，N为奇数H严)=“(牛1)+(W(N7~T+n)cos®0)]e2丁H(ejco)的幅值关于u)=0,n,2肌成偶对称。2、h(n)为偶对称，N为偶数{M2z11NT(y-1+n)cos[a)(n
2、~jr2H(ejco)的幅值关于u)=n成奇对称，不适合作高通。3、h(n)为奇对称，N为奇数u]T—11♦巴])=[工2/1(——+h)sii(na))]e22H(eju))的幅值关于u)=0,n,2兀成奇对称，不适合作高通和低通。4、h(n)为奇对称，N为偶数叫N1-;[a>_<]H(严)=[^2/j(—-1+n)sin(a)(n--))>22-LH(eju))u)=0>2n=0,不适合作低通。三、实验方法(―)窗口法窗函数法设计线性相位FIR滤波器步骤•确定数字滤波器的性能要求：临界频率{a)k},滤波器单位脉冲响应长度N；•
3、根据性能要求，合理选择单位脉冲响应h(n)的奇偶对称性，从而确定理想频率响应Hd(eju))的幅频特性和相频特性；•求理想单位脉冲响应hd(n),在实际计算中，可对Hdl(eju))按M(M远大于N)点等距离采样，并对其求IDFT得hM(n),用hM(n)代替hd(n)；•选择适当的窗函数w(n),根据h(n)二hd(n)w(n)求所需设计的FIR滤波器单位脉冲响应；•求H(ejo)),分析其幅频特性，若不满足要求，可适当改变窗函数形式或长度N,重复上述设计过程，以得到满意的结果。窗函数的傅式变换W(ejco)的主瓣决定了H(ejco)
4、过渡带宽。W(eju))的旁瓣大小和多少决定了H(eju))在通带和阻带范围内波动幅度，常用的几种窗函数有：•矩形窗w(n)=RN(n)；•Hanning窗临)・0.5[l・cos；]&；(〃)2v-1；•Hamming窗w(”)-[0.54-0.46(cos尹;)/“(")N7；•Blackmen窗w(n)・[0.42-0.5(cos證)+0.08cos(純)疋n(”)N7N7；式中lo(x)为零阶贝塞尔函数。(二)频率采样法频率采样法是从频域出发，将给定的理想频率响应Hd(eju))加以等间隔采样也0)12/凤(約然后以此Hd(k)
5、作为实际FIR数字滤波器的频率特性的采样值H(k),即令H(k)=Hd(k)=Hd(eJ^)2「斤=0丄…”一1(0=—k由H(k)通过IDFT可得有限长序列h(n)1N・1何==工H化02如N,=01…,N-1Nk-Q将上式代入到Z变换中去可得l-z"gHgN祐-咐z"2/7?其中①(3)是内插函数(三)FIR滤波器的优化设计FIR滤波器的优化设计是按照最大误差最小化准则，使所设计的频响与理想频响之间的最大误差，在通带和阻带范围均为最小，而且是等波动逼近的。为了简化起见，在优化设计中一般将线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)的
6、对称中心置于n二0处，此时，线性相位因子ct二0。当N为奇数，且N=2M+1,贝I」=力(0)+V2/7(Z7)COSHd)M«1如希望逼近一个低通滤波器，这里M,U)p和3S固定为某个值。在这种情况下有1,)=k尹1,Jk应当等于比值61/62,61为通带波动，62为阻带波动。在这种情况下，设计过程要求
7、E(u))
8、在区间环和5'®'环的最大值为最小，它等效于求最小62。根据数学上多项式
9、逼近连续函数的理论，用三角多项式逼近连续函数，在一定条件下存在最佳逼近的三角多项式，而且可以证明这个多项式是唯一的。这一最佳逼近定理通常称作交替定理。在逼近过程中，可以固定k,M,u)p,u)s而允许改变62,按照交替定理，首先估计出(M+2)个误差函数的极值频率点{u)i},i=O,l,...,M+l,共计可以写出(M+2)个方程•M・W(69,)Hd(e''L，)-h(0)-V2/j(a?)cos(^)二-(T)‘/?昇二OJ,・・・M+1M=1式中P表示峰值误差。一般仅需求解出P，接着便可用三角多项式找到一组新的极值频率点，并求出
10、新的峰值误差P。依此反复进行，直到前、后两次p值不变化为止，最小的p即为所求的62。这一算法通常称作雷米兹（Remez）交替算法!1!实验内容（1）N二45,计算并Iffll出矩形窗、汉明窗、布莱克曼窗的归
