微分方程基本概念

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1、微分方程基本概念授课人：刘兴波E-mail:xbliu@math.ecnu.edu.cn一基本概念1.微分方程：含有自变量,未知函数与它们的导数(或微分)之间关系的等式称为微分方程.2.常微分方程与偏微分方程只含一个自变量的微分方程称为常微分方程(ordinarydifferentialequation),自变量多于一个的微分方程称为偏微分方程(partialdifferentialequation).例如：dy1,(1.1)dxyxy(y),(1.2)(xy)dx(xy)dy0,(1.3)dxf(t,x,y)1dt,(1.4)dyf(t,x,

2、y)2dt222uuu0.(1.5)222xyz注1：本教程中在不会混淆时简称``常微分方程“为``微分方程"甚至简称为``方程".注2：一个微分方程可以形式上不含自变量与未知函数，但必须含有未知函数的导数(或微分形式)，否则就不能称为微分方程。3微分方程的阶数在微分方程中,必定含有未知函数的导数,其中出现的最高阶数就称为该微分方程的阶数;一般阶常微分方程可写成如下隐方程形式(n)F(x,y,y,,y)0其中F是其变元的已知函数.但在实际中常常讨论最高阶导数已解出的标准形式(n)(n1)yf(x,y,y,,y).即方程的左边是未知函数的最高阶

3、导数(n阶导数),而方程的右边为自变量、未知函数和未知函数低于n阶的导数的已知函数.4.线性和非线性：如果在方程中的函数F关于未知函数y及其各阶导数(n)y,,y是一次有理整式,则称方程是线性的(linear)n阶线性方程的一般形式是(n)(n1)ya(x)ya(x)ya(x)yf(x)1n1n其中a(x),,a(x)和f(x)都是自变量的已知函数.1nx而n维一阶线性常微分方程组的一般形式为dxA(t)xf(t)dt其中f(t)是n维已知的函数列向量,x是n维列向量,A(t)是n阶已知的函数方阵.不是线性的微分方程就称为非线性方程.例如,方程(1

4、.1),(1.3),(1.5)都是线性方程,而方程(1.2),(1.4)一般来说是非线性的(nonlinear).注1：判别一个微分方程是否线性，只要看其未知函数及其各阶导数是否一次的即可，不需要考虑自变量的影响5.微分方程的解：如果把已知函数或函数矢量及其导函数代入相应的微分方程,使得该微分方程在函数或函数矢量的定义区间I上成为恒等式,则称这种函数或函数矢量为微分方程在区间I上的(显式)解.这个区间I称为微分方程的解的定义区间.注1：同一个微分方程可以有不同的解,不同的解的定义区间可以不同.注2：由定义可见解函数的定义区间I的长度一定大于零,不然解函数的导数就没有意义.定义

5、区间可能是开区间,闭区间,或半开半闭区间.若方程的解是由隐函数决定的,则称之为隐式解.若方程的解是由参数形式表示的,则称之为参数形式解.6.通解、初值问题和特解:(n)(n1)考虑n阶方程yf(x,y,y,,y).如果在它的解中含有n个独立的任意常数,则称这个解为方程的通解.如果方程的解中不包含任意常数，则称它为方程的特解注1：通解不一定包含了方程所有的解;例如可以验证是方程的通解,其中c为任意常数;这个方程还有一个解就不包括在它的通解中.注2：任意常数的相互独立性.由于微分方程的通解总含有任意常数,因此为了确定它的某个特定的解,还必须给出该解所应满足的条件,求满足给

6、定条件的解的问题称为定解问题,给出的这种条件就称为定解条件.我们在本书中只考虑初始问题。初值问题中解要满足的条件称为初始条件初值条件是指当自变量在某一给定点时,未知函数以及它的低于方程阶数的导函数在该点应取给定的数值.n阶方程的初始条件(initialcondition):当xx时,0n1n1y(x)y,yxy,,yxy000000n1其中y,y,,y是预先给定的n个常数.000于是n阶微分方程的初值问题(initialvalueproblem):(n)(n1)yf(x,y,y,,y)(n1)(n1)y(x)y,y

7、(x)y,,y(x)y000000例如可以验证是二阶方程的通解.因此不难求出满足初始条件的特解为二、一阶方程解的几何意义1.积分曲线设D为x,y,平面上的区域,考虑微分方程dyf(x,y)dx设函数为系统的一个特解,这函数在x,y平面上的图像是D中的一条曲线,我们称它为方程的一条积分曲线.设方程的通解是,当其中任意常数c在某一实数集中取值时,就得到D中的积分曲线的集合,我们称它为积分曲线族.方程满足初始条件的特解就是通过点的积分曲线.注：解和积分曲线的关系？曲线l是方程的积分曲线的充要条件