微分方程基本概念(I)

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1、§1微分方程基本概念函数反映了客观世界运动过程中各种变量之间的函数关系，是研究现实世界运动规律的重要工具，但在大量的实际问题中遇到稍为复杂的运动过程时，要直接写出反映运动规律的量与量之间的函数关系往往是不可能的，但常可建立含有要找的函数及其导数的关系式，这种关系式称为微分方程，对微分方程进行分析，找出未知函数来，这就是解微分方程。解一、问题的提出（1）（2）（3）将（2）代入（3）（4）解（5）（6）对（5）两边积分可得：（7）将（6）代入（7）可得：（8）在例1和例2中的（1）和（5）式中都含有未知函数的导数，我们有：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.并

2、称方程中最高阶导数的阶数为微分方程的阶数。实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.二、微分方程的基本概念说明1（1）一个微分方程中自变量、自变量的未知函数未必都出现；例1中两者都出现，例2中自变量未必现；（2）例1和例2中的微分方程分别为一阶、二阶微分方程；分类1：微分方程与偏微分方程另一类未知函数为多元函数的方程为偏微分方程在上述两个引例中未知函数都是一元的，我们称未知函数为一元函数的微分方程为常微分方程。说明2I、一阶微分方程几种形式：（1）一般形式：例1和例2中的微分方程分别为一阶常微分方程和二阶常微分方程；（2）一阶显示方程：

3、（3）对称形式：本章我们主要研究的是常微分方程。II、在一阶方程中，x和y的关系是等价的，因此有时可以将x看成函数，y看成变量；其中x为自变量，y为未知函数，这里y(n)一定要出现，其它的可以出现也可以不出现。一般地，n阶常微分方程记为若则称之为n阶线性常微分方程，分类2：线性与非线性微分方程可以表示称如下形式均为自变量x的已知函数。反之，不能写成上面形式的微分方程称为非线性微分方程。如引例中的1、2都是线性的微分方程，分别为一阶和二阶线性微分方程；而都是一阶和二阶非线性微分方程。（1）若（2）若分类3：解与隐式解能使得它变为恒等式所确定的隐函数容易验证：解和隐式解

4、统称为微分方程的解(1)通解:若上式的解中含有n个独立的任意常数，即微分方程的解的分类：(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.说明3：通解和特解只是方程的两类解，一阶方程的解要么是通解，要么是特解。微分方程求特解的方法和步骤：Step1：首先求出的通解；Step2：然后在根据实际情况找出能求出通解中n个常数的条件——定解条件；Step3：根据定解条件求出满足条件的特解；由定解条件求特解的问题，称为微分方程的定解问题。又称为初始条件；其中相应的定解问题又称为初值问题，即常见的定解条件为给定常数如引例中，定解条件（或初值）；为定解问题（或初值问题）解所求特解为补充:

5、微分方程的初等解法:初等积分法.求解微分方程求积分(通解可用初等函数或积分表示出来)思考题思考题解答中不含任意常数,故为微分方程的特解.