微分方程基本概念、可分离变量微分方程

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1、主要内容：第七章微分方程第一节微分方程基本概念第二节可分离变量的微分方程一、微分方程基本概念；二、可分离变量的微分方程.1一、微分方程的基本概念在许多问题中,往往不能直接找出所需要的函数关系,但是根据问题所提供的情况,有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式.这种关系式就是所谓微分方程.微分方程建立以后,对它进行研究,找出未知函数来,这就是解微分方程.本节通过几个具体的例题来说明微分方程的基本概念.上页下页铃结束返回首页2设所求曲线的方程为yy(x),则例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.解上式两端积分

2、得因为曲线通过点(12)即当x1时y2所以212CC=1因此所求曲线方程为yx21说明当x1时y2可简记为y

3、x123例2列车在平直线路上以20m/s的速度行驶;当制动时列车获得加速度0.4m/s2.问开始制动后多少时间列车才能停住,以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解设列车在开始制动后t秒时行驶了s=s(t)米则s04s

4、t020s

5、t00把等式s04两端积分一次得s04tC1再积分一次得s02t2C1tC2(C1C2都是任意常数)由s

6、t020得

7、20C1由s

8、t00得0C2故s02t220t故s04t20s025022050500(m)于是列车在制动阶段行驶的路程为令s0得t50(s)4说明未知函数是一元函数的微分方程,叫常微分方程.未知函数是多元函数的微分方程,叫偏微分方程.说明几个基本概念微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫微分方程微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫微分方程的阶一般n阶微分方程的形式为F(xyyy(n))0或y(n)f(xyyy(n

9、1))一阶的二阶的5说明微分方程的解满足微分方程的函数叫做该微分方程的解确切地说设函数y(x)在区间I上有n阶连续导数如果在区间I上F[x(x)(x)(n)(x)]0那么函数y(x)就叫做微分方程F(xyyy(n))0在区间I上的解在例2中方程s04的解有s02t2C1tC2、s02t220tC2和s02t220t6说明微分方程的解满足微分方程的函数叫做该微分方程的解通解如果n阶微分方程的解中含有n个相互独立的任意常数则这样的解叫做微分方程的通解特解确定

10、了通解中的常数以后就得到微分方程的特解即不含任意常数的解叫特解通解特解什么解？在例2中方程s04的解有s02t2C1tC2、s02t220tC2和s02t220t7说明对于一阶微分方程通常用于确定任意常数的条件是对于二阶微分方程通常用于确定任意常数的条件是例1是求方程y'=2x满足初始条件y

11、x12的解例2是求方程s=-0.4满足初始条件s

12、t00s

13、t020的解初始条件用于确定通解中任意常数的条件称为初始条件8初始条件用于确定通解中任意常数的条件称为初始条件说明说明求微分方程满

14、足初始条件的解的问题称为初值问题初值问题微分方程的解的图形是一条曲线叫做微分方程的积分曲线积分曲线9例3设有一个弹簧,上端固定,下端挂一个质量为m的物体.取x轴铅直向下,并取物体的平衡位置为坐标原点.给物体一个初始速度v00后,物体在平衡位置附近作上下振动.在振动过程中,物体的位置x是t的函数:x=x(t).设弹簧的弹性系数为c,物体受到的阻力的大小与运动速度成正比,比例系数为m.x(t)所满足的微分方程为提示牛顿第二运动定律Fma10给物体一个初始速度v00后,物体在平衡位置附近作上下振动.在振动过程中,物体的位置x是t的函数:x=x(t).设弹簧的

15、弹性系数为c,物体受到的阻力的大小与运动速度成正比,比例系数为m.x(t)所满足的微分方程为则上式化为这就是在有阻尼的情况下,物体自由振动的微分方程.例3设有一个弹簧,上端固定,下端挂一个质量为m的物体.取x轴铅直向下,并取物体的平衡位置为坐标原点.提示牛顿第二运动定律Fma11给物体一个初始速度v00后,物体在平衡位置附近作上下振动.在振动过程中,物体的位置x是t的函数:x=x(t).设弹簧的弹性系数为c,物体受到的阻力的大小与运动速度成正比,比例系数为m.如果物体还受到铅直干扰力F=Hsinpt的作用,则有这就是强迫振动的微分方程.例3设