32-微分方程基本概念、可分离变量微分方程

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1、主要内容：第六章微分方程第一节微分方程基本概念可分离变量的微分方程一、微分方程基本概念；二、可分离变量的微分方程.一、微分方程的基本概念在许多问题中,往往不能直接找出所需要的函数关系,但是根据问题所提供的情况,有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式.这种关系式就是所谓微分方程.微分方程建立以后,对它进行研究,找出未知函数来,这就是解微分方程.本节通过几个具体的例题来说明微分方程的基本概念.设所求曲线的方程为yy(x),则例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率

2、为2x,求这曲线的方程.解上式两端积分得因为曲线通过点(12)即当x1时y2所以212CC=1因此所求曲线方程为yx21说明当x1时y2可简记为y

3、x12例2列车在平直线路上以20m/s的速度行驶;当制动时列车获得加速度0.4m/s2.问开始制动后多少时间列车才能停住,以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米则s04s

4、t020s

5、t00把等式s04两端积分一次得s04t

6、C1再积分一次得s02t2C1tC2(C1C2都是任意常数)由s

7、t020得20C1由s

8、t00得0C2故s02t220t故s04t20s025022050500(m)于是列车在制动阶段行驶的路程为令s0得t50(s)说明未知函数是一元函数的微分方程,叫常微分方程.未知函数是多元函数的微分方程,叫偏微分方程.说明几个基本概念微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫微分方程微分方程的阶微

9、分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫微分方程的阶一般n阶微分方程的形式为F(xyyy(n))0或y(n)f(xyyy(n1))一阶的二阶的练习、常微分方程的定义及常微分方程的阶说明微分方程的解满足微分方程的函数叫做该微分方程的解通解如果n阶微分方程的解中含有n个相互独立的任意常数则这样的解叫做微分方程的通解特解确定了通解中的任意常数以后就得到微分方程的特解即不含任意常数的解叫特解通解特解什么解？在例2中方程s04的解有s

10、02t2C1tC2、s02t220tC2和s02t220t练习、常微分方程的解说明对于一阶微分方程通常用于确定任意常数的条件是对于二阶微分方程通常用于确定任意常数的条件是例1是求方程y=2x满足初始条件y

11、x12的解例2是求方程s=-0.4满足初始条件s

12、t00s

13、t020的解初始条件用于确定通解中任意常数的条件称为初始条件初始条件用于确定通解中任意常数的条件称为初始条件说明说明求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题初

14、值问题微分方程的解的图形是一条曲线叫做微分方程的积分曲线积分曲线例3验证函数x=C1coskt+C2sinkt是微分方程的解求所给函数的导数解k2(C1cosktC2sinkt)k2(C1cosktC2sinkt)0.这表明函数x=C1coskt+C2sinkt满足所给方程因此所给函数是所给方程的解例4已知函数x=C1coskt+C2sinkt(k0)是微分方程的通解求满足初始条件x

15、t=0Ax

16、t=00的特解将条件x

17、t=0A代入xC1cosktC2s

18、inkt得解C1A.将条件x

19、t=00代入x(t)kC1sinktkC2coskt得把C1、C2的值代入xC1cosktC2sinkt中就得所求的特解为xAcosktC20.例4在xOy面的第一象限内有一曲线过点(3,3),曲线上任一点P处的切线与y轴总相交,交点记为A,已知

20、PA

21、=

22、OA

23、,求此曲线满足的微分方程.解点P(x,y)处的切线方程为点A的纵坐标为由

24、PA

25、=

26、OA

27、得整理得此为所求的微分方程,且满足初始条件二、可分离变量的微分方程一阶微分方程有时也写成

28、如下对称形式P(xy)dxQ(xy)dy0在这种方程中变量x与y是对称的如果一个一阶微分方程能写成g(y)dyf(x)dx的形式那么原方程就称为可分离变量的微分方程微分方程分离变量是否可分离变量y2xy3x25xy0(x2y2)dxxydy=0y1xy2xy2y10xy讨论:是不是不是是是是y1dy2xdxdy(3x25x)dxy(1x)(1y2)10ydy10xdx————————可分离变量的微分方程的解法两