数理统计与数据分析第1章概率

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1、第1章概率1.1引言尽管概率(几率或随机性)的起源思想十分久远，但其数学形式的严格公理化定义却是在近代才出现.概率论的很多基本思想起源于博弈问题.21世纪以来，概率的数学理论应用在很多现象上，一些代表性的例子如下：²概率论已经被用在遗传学上，用来构建基因突变模型，计算自然变率，同时在生物信息学上也扮演着重要的角色.²气体分子运动理论有很重要的概率成分.²在设计和分析计算机操作系统时，系统中的各式队列长度可以用随机现象来刻画.²已经有很成熟的理论将电子设备和通信系统中的噪声用随机过程来处理.²大气湍流中的许多模型使用概率论的概念.²在运筹学中，经常建立货物存

2、货需求的随机化模型.²保险公司使用的精算科学高度依赖于概率论工具.²概率论可以用来研究复杂系统，提高它们的可靠度，例如现代商用或军用飞机的设计.²概率论是金融学的奠基石.类似于这样的例子可以列举很多.本书介绍概率论和数理统计的基本内容.第一部分将概率论作为随机现象的数学模型来阐述，第二部分讲述统计学的有关内容，从本质上讲，它主要关注于数据的分析步骤，尤其是那些具有随机特征的数据.为了理解统计理论，读者必须有一个很好的概率论背景.1.2样本空间概率论研究那些发生结果具有随机性的现象.一般地，这样的现象称为试验，所有可能的试验结果全体称为相应于该试验的样本空间

3、(samplespace)，记为•,其元素记为!.举例如下：例1.2.1一个人开车去上班，他要穿过三个交通信号灯，在每个信号灯处，他要么停下(记为s)，要么通过(记为c).所有可能结果全体形成的样本空间是：•=fccc;ccs;css;csc;sss;ssc;scc;scsg例如，其中csc表示这个人在第一个信号灯处通过，然后在第二个信号灯处停下，最后在第三个信号灯处通过.¥例1.2.2主计算机打印队列中的工作数目可以看成是随机的，这里我们取样本空间为：•=f0;1;2;3;¢¢¢g2第1章也就是所有非负整数组成的集合.在实际中，打印队列长度可能有一个上限

4、N，因此，这样的样本空间定义为：•=f0;1;2;3;¢¢¢;Ng¥例1.2.3地震是不规则运动的反应，有时也可以随机化.例如，某个特定地区，就震级超过给定阈值的地震而言，连续两次之间的时间长度可以看做一个试验.这里的•是所有非负实数的集合：•=ftjt>0g¥我们经常感兴趣于•的特定子集，用概率的语言称之为事件(event).在例1.2.1中，上班者在第一个信号灯处停下是一个事件，即•的子集：A=fsss;ssc;scc;scsg(经常用斜体大写字母表示事件或者子集.)在例1.2.2中，打印队列中的工作数目小于5个这一事件表示为：A=f0;1;2;3;4

5、g代数的集合论可以直接用在概率论中.两个事件A和B的并(union)表示事件A或者事件B至少有一个发生的事件C：C=A[B.例如，如果事件A表示上班者在第一个信号灯处停下(见之前表述)，事件B表示上班者在第三个信号灯处停下，B=fsss;scs;ccs;cssg那么事件C表示这个人在第一个信号灯处停下或者在第三个信号灯处停下，由A或者B或者都在两者中的元素组成：C=fsss;ssc;scc;scs;ccs;cssg两事件的交(intersection)，C=AB，是事件A和B都发生的事件.如果事件A和B如之前所述，那么事件C表示上班者在第一个信号灯处停下

6、，同时又在第三个信号灯处停下，因此它由既在A中又在B中的元素构成：C=fsss;scsg事件的补(complement)，Ac，是事件A不发生的事件，因此由样本空间中不属于A的元素构成.上班者在第一个信号灯处停下的补事件表示他在第一个信号灯处通过：Ac=fccc;ccs;css;cscg读者可能从上述集合论的表述中回想起一个比较神秘的集合：空集，通常记为?.空集(emptyset)是不包含任何元素的集合，是不含任何试验结果的事件.例如，事件A表示上班者在第一个信号灯处停下，事件C表示他连续通过三个信号灯，C=fcccg，那么事件A和C没有共同的试验结果，我

7、们可以将此表述为：AC=?在这种情形下，我们称事件A和C是不相交的(disjoint).文氏图常用来可视化集合运算，如图1.1所示.概率3图1.1A[B和AB的文氏图集合论的一些运算律如下：交换律：A[B=B[AAB=BA结合律：(A[B)[C=A[(B[C)(AB)C=A(BC)分配律：(A[B)C=(AC)[(BC)(AB)[C=(A[C)(B[C)三者之中，分配律是最不直观的，读者可以利用文氏图理解它的直观解释.1.3概率测度样本空间•上的概率测度(probabilitymeasure)是定义在•子集上的实函数，且满足如下公

8、理：1.P(•)=1.2.如果A½•，那么P(A)>0.3.如果A