高等结构动力学2

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1、同济大学土木工程防灾国家重点实验室、桥梁工程系高等结构动力学——之第三讲广义单自由度叠加方法主讲教师：葛耀君教授、博士同济大学土木工程防灾国家重点实验室、桥梁工程系1时域方法(Time-DomainMethod)Duhamel积分图式(无阻尼)1.1无阻尼精确解1t1近似公式：v(t)=&∫p(t)dtsinwtmw0微分公式：p(t)dtdv(t)=sinw(t-t)()t³tmw1t积分公式：v(t)=∫p(t)sinw(t-t)dt()t³0m0w同济大学土木工程防灾国家重点实验室、桥梁工程系1.1无阻尼精确解(续)广义卷积(GeneralConvolutionI

2、ntegral)：tv(t)=∫p(t)h(t-t)dt()t³00单位脉冲响应函数(Unit-ImpulseResponseFunction)：1h(t-t)=sinw(t-t)mw无阻尼自由振动响应：v&(0)1tv(t)=sinwt+v(0)coswt+∫p(t)sinw(t-t)dt0wmw适用条件：逐个冲击响应的叠加同济大学土木工程防灾国家重点实验室、桥梁工程系1时域方法(续)1.2有阻尼精确解微分公式：p(t)dtdv(t)=sinwD(t-t)exp[]-xw(t-t)()t³tmwD积分公式：1tv(t)=p(t)sinw(t-t)exp[]-xw(t-

3、t)dt()t³0∫D0mwD单位脉冲响应函数：1h(t-t)=sinw(t-t)exp[]-xw(t-t)DmwD同济大学土木工程防灾国家重点实验室、桥梁工程系1时域方法(续)1.3无阻尼数值解和差公式：sinw(t-t)=sinwtcoswt-coswtsinwt1t积分公式：v(t)=∫p(t)sinw(t-t)dt0mw1t1t=sinwtp(t)coswtdt-coswtp(t)sinwtdtmw∫0mw∫0=A(t)sinwt-B(t)coswt1t积分函数：A(t)=∫p(t)coswtdt0mw1tB(t)=∫p(t)sinwtdt0mw同济

4、大学土木工程防灾国家重点实验室、桥梁工程系1.3无阻尼数值解(续)数值积分函数：y(t)ºp(t)coswtDuhamel数值积分图数值积分计算公式：Dt矩形公式：AN=[]y0+y1+y2+L+yN-1mwDtA=y+2y+2y+L+2y+y曲边梯形：N[]012N-1N2mwDtA=y+4y+2y+L+4y+y二次曲线：N[]012N-1N3mw同济大学土木工程防灾国家重点实验室、桥梁工程系1.3无阻尼数值解(续)数值积分递推计算公式(以为AN例)：Dt矩形公式：A=A+[]yNN-1N-1mw曲边梯形：Dt[]A=A+y+yNN-1N-1N2mwDt二次曲线：AN=AN-1+

5、[]yN-2+4yN-1+yN3mwBN数值积分可以采用类似方法无阻尼数值解：v=Asinwt-BcoswtNNNNN同济大学土木工程防灾国家重点实验室、桥梁工程系1时域方法(续)1.4有阻尼数值解积分公式：v(t)=A(t)sinwDt-B(t)coswDt1texp(xwt)积分函数：A(t)=∫p(t)coswDtdt0mwexp(xwt)D1texp(xwt)B(t)=p(t)sinwtdt∫D0mwexp(xwt)D数值积分递推计算公式：v=Asinwt-BcoswtNNDNNDNDt矩形公式：AN=AN-1exp(-xwDt)+yN-1exp(-xwDt)mwD曲边梯形

6、：Dt[]A=Aexp(-xwDt)+yexp(-xwDt)+yNN-1N-1N2mwD二次曲线：A=Aexp(-xwDt)NN-2Dt+[]yexp(-2xwDt)+4yexp(-xwDt)+yN-2N-1N3mwD同济大学土木工程防灾国家重点实验室、桥梁工程系2频域方法2.1Fourier响应积分¥指数展开式：p(t)=∑Pnexp(iwnt)n=-¥1TpP=p(t)exp(-iwt)dtn∫nT0p区间等分公式：1wDw1==nw=nDw=wPnTp=p(iwn)T2p2p1np¥Fourier展开式：Dwp(t)=P(iw)exp(iwt)∑nn2pn=-¥TpP(i)2

7、p(t)exp(it)dtw=-wn∫Tpn-2同济大学土木工程防灾国家重点实验室、桥梁工程系2.1Fourier响应积分(续)Fourier积分变换：Tp®¥,Dw®dw¥1逆变换：p(t)=∫P(iw)exp(iwt)dw2p-¥¥正变换：P(iw)=∫p(t)exp(-iwt)dt-¥有阻尼Fourier响应积分：¥1v(t)=∫H(iw)P(iw)exp(iwt)dw2p-¥频率响应函数：111()1-2-()2bixbH(iw)=2=222k