线性代数§3.1

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1、§3.1矩阵的初等变换本章先讨论矩阵的初等变换,建立矩阵的秩的概念,并提出求秩的有效方法.再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件,并介绍用初等变换解线性方程组的方法.内容丰富,有一定难度.一、消元法解线性方程组分析:用消元法解下列方程组的过程.引例:求解线性方程组2x1x2x3x42①x1x22x3x44②(1)4x16x22x32x44③3x16x29x37x49④解:x1x22x3x44①(1)①②2x1x2x3x42②(B)1③

2、22x13x2x3x42③3x16x29x37x49④x1x22x3x44①②③2x22x32x40②(B)2③2①5x25x33x46③④3①3x23x34x43④x1x22x3x44①②2x2x3x40②(B3)5x25x33x46③3x23x34x43④x1x22x3x44①③+5②x2x3x40②2x6③(B4)④–3②4x43④x1x22x3x44①③2④x2x3x40②(B)5③

3、④x43③00④用“回代”的方法求出解于是得解.:x1x34x2x33x43其中x3可以任意取值.或令x3=c,方程组的解可记作:x1c414xc313x2,或xc(2)x3c10x3034其中c为任意常数.归纳以上过程:1.上述解方程组的方法称为消元法．2.始终把方程组看作一个整体变形,用到如下三种变换:(1)交换方程次序:i与j相互替换;(2)以不等于0的数k乘某个方程:以ik替换i;(3)一个方程加上另一个方程的k

4、倍:以i+kj替换i.3.上述三种变换都是可逆的.ijij若(A)(B),则(B)(A);ikik若(A)(B),则(B)(A);ikjikj若(A)(B),则(B)(A).由于三种变换都是可逆的,所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的.故这三种变换是同解变换.因为在上述变换过程中,未知量并未参与本质性运算,仅仅只对方程组的系数和常数进行运算,只因某未知量前的系数化为0,而不显含该未知量.2111211214若记B(A

5、b)4622436979则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组(1)的增广矩阵)的

6、变换.二、矩阵的初等变换定义1:下面三种变换称为矩阵的初等行变换:(1)对调两行(对调i,j两行,记作rirj);(2)以非零数k乘以某一行的所有元素(第i行乘k,记作rik);(3)把某一行所有元素的k倍加到另一行的对应元素上去(第j行的k倍加到第i行上去,记作ri+krj).同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．定义2:矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换.初等变换的逆变换仍为初等变换且变换类型相同.rirj的逆变换为rjri;rik的逆变换为ri(1/k),或rik;ri+krj的逆变换为ri+(–k)rj,

7、或ri–krj.定义3:如果矩阵A可经过有限次初等变换变为矩阵B,则称矩阵A与矩阵B等价.记作AB.具有以下三条性质的关系称为等价关系:(1)自反性:AA;(2)对称性:若AB,则BA;(3)传递性:若AB,且BC,则AC.矩阵的等价满足等价关系的定义.两个同解线性方程组具有等价关系性质,因此也称两个同解线性方程组为等价的.用矩阵的初等行变换解方程组(1).2111211214B462243697911214r1r221112①②r3223112B1③236979r–

8、r112142302220②③r3–2r105536B2③2①r–3r4103343④3①11214r2201110②2B3055360334311214r+5r3201110③+5②r–3r00026B442④–3②0001311214r–2r34③2④01110rr00013B543③④0000010104r2–r3②③01103r–rB6①③1300013r–r①②1200000

9、B对应的方程组为:x1