正多边形、圆、弧长公式及计算

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1、正多边形和圆、弧长公式及有关计算 ［学习目标］ 1.正多边形的有关概念；正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角。正n边形的半径，边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。 2.正多边形和圆的关系定理   任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，因此可采用作辅助圆的办法，解决一些问题。 3.边数相同的正多边形是相似多边形，具有以下性质：   （1）半径（或边心距）的比等于相似比。   （2）面积的比等于边心距（或半径）的比的平方，即相似比的平方。 4.由于正n边形的n个顶点n等分它的外接圆，因此画正n边形实际就是等分圆周。   （1）画正n边形的步骤

2、：   将一个圆n等分，顺次连接各分点。   （2）用量角器等分圆   先用量角器画一个等于的圆心角，这个角所对的弧就是圆的，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，连结各分点即得此圆的内接正n边形。 5.对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。 6.圆周长公式：，其中C为圆周长，R为圆的半径，把圆周长与直径的比值叫做圆周率。 7.n°的圆心角所对的弧的弧长：   n表示1°的圆心角的度数，不带单位。 8.正n边形的每个内角都等于，每个外角为，等于中心角。 二.重点、难点： 1.学习重点：   正多边形和圆关系

3、，弧长公式及应用。   正多边形的计算可转化为解直角三角形的问题。   只有正五边形、正四边形对角线相等。 2.学习难点：   解决有关正多边形和圆的计算，应用弧长公式。 【典型例题】 例1.正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（   ）   A.               B.              C.               D.   解：如图所示，BF＝2，过点A作AG⊥BF于G，则FG＝1   又∵∠FAG＝60°      故选B   点拨：正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。  例2.正三角形的边心距、半径和高的比

4、是（   ）   A.1∶2∶3                         B.   C.                  D.   解：如图所示，OD是正三角形的边心距，OA是半径，AD是高   设，则AO＝2r，AD＝3r   ∴OD∶AO∶AD＝r∶2r∶3r＝1∶2∶3   故选A   点拨：正三角形的内心也是重心，所以内心到对边的距离等于到顶点距离的。通过这个定理可以使问题得到解决。  例3.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积之间的大小关系是（   ）   A.                B.   C.                D.   

5、解析：设它们的周长为，则正三角形的边长是，正四边形的边长为，正六边形的边长为              故选B   点拨：一定要注意三个正多边形的周长相等这一重要条件，否则容易得出错误结论。  例4.如图所示，正五边形的对角线AC和BE相交于点M，求证：   （1）；   （2）   点悟：若作出外接圆可以轻易解决问题。   证明：（1）正五边形必有外接圆，作出这个辅助圆，则      ∴∠BEA＝36°         （2）   又∵公共角∠ABM＝∠EBA   ∴△ABM∽△EBA     例5.已知正六边形ABCDEF的半径为2cm，求这个正六边形的边长、周长和面积。

6、   解：∵正六边形的半径等于边长   ∴正六边形的边长     正六边形的周长     正六边形的面积   点拨：本题的关键是正六边形的边长等于半径。  例6.已知正方形的边长为2cm，求它的外接圆的外切正三角形的边长和面积。   解：∵正方形的边长为2cm   ∴正方形的外接圆半径为cm   ∴外接圆的外切正三角形一边上的高为cm   ∴正三角形的边长为   ∴正三角形的面积为   点拨：本题的重点是正方形的边长、圆的半径和正三角形的半径之间的关系。  例7.如图所示，已知⊙和⊙外切于点P，⊙和⊙的半径分别为r和3r，AB为两圆的外公切线，A、B为切点，求AB与两弧所围的

7、阴影部分的面积。   解：连结，过点作   在中，      ∴梯形的面积为：      又∵      ∴扇形的面积为：     扇形的面积为：   ∴阴影部分的面积为：      点拨：求组合图形的面积一般要构造出易解决问题的基本图形，然后求出各图形的面积，最后通过面积的加减得出结论。  例8.如果弧所对的圆心角的度数增加1°，设弧的半径为单位1，则它的弧长增加___________。   解：由弧长公式，得：   当弧所对的圆心角的度数增加1°，则弧长为      ∴弧长增加，故填   点拨：本题