[工学]机械优化设计孙靖民主编课件

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1、最优化设计第二章最优化设计的基本理论第二章最优化设计的基本理论主要内容：1，目标函数和约束函数的某些性质。2，目标函数达到设计最优解的某些规律。第二章最优化设计的基本理论术§2.1目标函数的性态分析一、目标函数的等值面（线）目标函数是一种可计算函数。F(X)=F(x1,x2,x3,...xn)给定一个设计方案X(x1,x2,x3,...xn)的值时，F(X)必有一定的数值相对应。反过来，若给定F(X)=C值，便有无限多组的(x1,x2,x3,...xn)与F(X)=C相对应。即：当F(X)等于常数时，X在设计空间中有一个

2、点集。一般情况下，此点集是一超维曲面，称之为目标函数的等值面。当给定一系列的C值，C=C1,C2…时，便可以得到一组曲面族——等值面族。当然，在一个特定的等值面上，每个设计方案的目标函数值都是相等的。§2.1目标函数的性态分析当n=2时，得到等值线。如图所示：目标函数的等值线族方程为：此曲线族是以（2，0）为圆心，为半径的同心圆。给定一个x1,x2值，可以算得相应的Ｆ(Ｘ)。但给定一个Ｆ(Ｘ)=Ci，就得到了一个圆。这个圆实际上是无穷多个点组成起来的，是无穷多个点的集合，是无穷多个设计方案的集合。§2.1目标函数的性态分

3、析同一圆上的所有设计点所对应的目标函数值都是相等的。当n=3时，得到等值面。§2.1目标函数的性态分析非圆形的等值面（等值线）是实际问题中常见的。可以用地形图中的等高线来比喻。等值线的中心一般是目标函数的极值，等值线越密，该处的函数变化率越大。等值线（面）的分布律表示了目标函数的变化情况。对于有中心的曲线族，求目标函数的极值就是寻找等值线族的共同中心。怎么找到目标函数等值线的共同中心呢？§2.1目标函数的性态分析中心而最优化设计的最关键问题就是确定行进方向S和行进步长的步长因子α。这两个参数定得好，几步就可以找到极值点，

4、达到事半功倍的效果。S和α定得不好，就有可能始终找不到Ｘ*,甚至越算越糟。怎么找，得对有些数学知识给予复习。§2.1目标函数的性态分析最优化设计都是采用迭代的办法。由一个初始点Ｘ(0)，想法找到一个方向S(0)，向前迈进一步，ΔＸ(0)=α(0)S(0)走到一个新点：Ｘ(1)=Ｘ(0)+α(0)S(0)比较F（Ｘ(0)）和F（Ｘ(1)），如果F（Ｘ(0)）>F（Ｘ(1)），则把（Ｘ(1)）当成新的初始点重新开始第二次迭代。1，偏导数某个坐标轴方向上函数值的变化率称之为函数的偏导数。§2.1目标函数的性态分析二、函数的方向

5、导数等值面或等值线只是从几何方面定性地表达了目标函数的变化规律。这是不够的，必须对目标函数的性态作定量的分析，以便进一步探明目标函数沿某个指定方向的函数值的变化率是多少，沿哪个方向变化率最大。（现代设计方法的发展趋势之一，就是由定量取代定性。）为此，需要引入方向导数和梯度的概念。§2.1目标函数的性态分析对于二维目标函数Ｆ(x1,x2)，设在Ｘ(0)=[x1(0)，x2(0)]T处，若保持x2=x2(0)不变，F（x1，x2）沿x1方向的变化率就称为Ｆ（Ｘ）沿x1方向的偏导数。定义为：它的几何意义是曲面F(x1，x2)被

6、平面x2=x2(0)所截成的曲线F（x1，x2(0)）在点Ｍ处的切线的斜率。§2.1目标函数的性态分析同理，若保持x1=x1(0)不变，Ｆ(Ｘ)沿x2方向的偏导数：它也是曲面Ｆ(Ｘ)被平面x1=x1(0)所截成的曲线Ｆ（x1(0)，x2）在点Ｍ处的切线的斜率。§2.1目标函数的性态分析推而广之，对于n维目标函数Ｆ(Ｘ)在Ｘ(0)点，Ｘ(0)=[x1(0),x2(0),…xn(0)]T的一阶偏导数分别为：——表示目标函数Ｆ(Ｘ)在X(q)点沿xj轴的一阶偏导数。此时注意；xi(q)(i=1,2,…n)中i≠j的任何轴都不变

7、化，只有xj轴变化。§2.1目标函数的性态分析2，方向导数对于目标函数Ｆ(x1,x2)，在其设计平面(x1,x2)内，有一已知设计点Ｘ(0)。现从这一已知点沿S方向前进，这个S方向与x1轴的夹角为α1，与x2的夹角为α2。在S方向上取任一点Ｘ(1)，Ｘ(1)=[x1(0)+△x1，x2(0)+△x2]T，Ｘ(0)点到Ｘ(1)之间的距离为△Ｘ(0)的模。记为：§2.1目标函数的性态分析另：常用向量的范数——属于数学专业范函分析的一部分在Rn欧氏区间内，有一向量Ｘ，Ｘ=[x1,x2,x3……xn]T，那么Ｘ的范数p就为：§2

8、.1目标函数的性态分析最常用的是如下三个范数：（1）X的范数1（2）X的范数2由于范数2用得非常多,故把‖X‖2写成‖X‖。§2.1目标函数的性态分析（3）X的范数无穷（ΔＸ(0)）是一个有方向的矢量，║ΔＸ(0)║而为标量。§2.1目标函数的性态分析目标函数在Ｘº点沿Ｓ方向的平均变化率为：如果上式极限存在，则称这个