基于模糊结构元理论的模糊值函数拟合及其应用

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1、http://www.paper.edu.cn基于模糊结构元理论的模糊值函数拟合及其应用陈斌，吴丹辽宁工程技术大学工商管理学院，辽宁葫芦岛（125105）E-mail：binchen869@163.com摘要：最小二乘和代数插值都是传统的函数拟合的常用方法。然而，在观测数据波动十分复杂混乱时，这种方法却不太适用。本文利用模糊结构元线性生成模糊值函数的方法，对股票成交量的散点数据进行拟合，同时用一个函数来描述这种变化趋势的不确定性程度。关键词：模糊结构元；模糊值函数拟合；代数插值中图分类号：O1591．

2、引言[1]L.A.Zader教授1965年发表《模糊集合》论文并建立了模糊集合论以来，模糊数学这门学科迅速发展起来。在定义了模糊数的基础上，人们定义了模糊函数理论：函数是实数集到实数集上的映射，函数的取值为实数。如果规定一个法则，使函数的取值为模糊数，则称[2]为模糊函数（或模糊值函数）。最小二乘和代数插值都是传统函数拟合的常用方法。然而，[3]-[5]在观测数据波动十分复杂混乱时，任何精确函数的拟合都将失去意义。郭嗣琮教授提出了模糊结构元的概念，给出了模糊数和模糊值函数的结构元表示，建立在此基础上的

3、模糊值函数拟合方法比传统的方法能更好地反映变量之间的关系，揭示复杂数据的运动规律。2．基本概念及定理定义1.1设E为实数域R上的模糊集，隶属函数记为E(x)，x∈R。如果E(x)满足下述性质：a)E(0)=1，E()1+0=E(−1−0)=0；b)在区间[]−1,0上E(x)是单增右连续函数，在区间[0,1]上E(x)是单增左连续函数；c)当−∝

4、是表示模糊零概念的特殊模糊数，可以具有多种形态。定义1.2设E为R上的模糊结构元，若满足：对于∀x∈(−1,1)E(x)>0，在区间[−1,0)上E(x)是连续且严格单调增的，在区间(0,1]上是连续且严格单调降的。则称E为正则模糊结构元。定义1.3设模糊集E具有隶属函数⎧1+x，x∈[−1,0],⎪E(x)=⎨1−x，x∈(0,1],⎪⎩0，其他，称E为三角结构元，隶属函数如图1所示。三角结构元是一个正则的模糊结构元。E(x)-1-http://www.paper.edu.cn1-11x图1三角结构

5、元Fig1Trianglestructuredelement定理1（局部映射原理）设E是R上的任意模糊结构元，具有隶属函数E(x)，又设函数f(x)在区间[]−1,1上是单调有界的，fˆ(x)是f(x)的延拓集值函数，则fˆ(E)是R上−1−1的有界闭模糊数，且fˆ(E)的隶属函数为E(f(x))，这里f(x)是关于变量x和y的轮−1换对称函数（若f(x)在区间[]−1,1上是连续严格单调的，则f(x)是f(x)的反函数）。定义1.4设g(x,y)=f(x)+ω(x)y，其中f(x)和ω(x)在X上有

6、界，且ω(x)非负。易知g(x,y)是关于在[]−1,1上的单调有界函数，则~F(x)=f(x)+ω(x)E~是X上的一个模糊值函数，称为由模糊结构元E线性生成的模糊值函数。F(x)的隶属函数可以由模糊结构元的隶属函数表示为y−f(x)µ~(y)=E()，∀y∈Y。F(x)ω(x)3．模糊值函数拟合3.1模糊回归分析的拟合方法以一元线性回归为例，设随机变量y与变量x间存在着某种相关关系，观测数据为(x,y),(x,y),L(x,y).1122nn2进一步假设对于x的每一个值，随机变量服从正态分布，即y

7、~N(a+bx,σ)，其中a,b及σ都是不依赖x的未知参数，即回归方程为~y=aˆ+bˆx利用传统方法可以估计出参数为n∑(xi−x)(yi−y)aˆ=y−bˆx,bˆ=i=1n2∑(xi−x)i=12同时求出σ的无偏估计为n212σˆ=∑(yi−yˆ)n−2i=12其中x和y分别为观测数据x和y(i=1,2,Ln)的算术平均值。σˆ反映了变量y的平均分ii散程度。构造模糊值函数为-2-http://www.paper.edu.cn~2y(x)=aˆ+bˆx+σˆE其中E是一个对称正则的模糊结构元，建

8、议采用正态模糊数，即模糊结构元的隶属函数为⎧y2⎪exp[−()],y∈[−1,1],E(y)=⎨m⎪⎩0,其他3.2代数插值的拟合方法22在模糊回归方法中，由于σˆ被估计为一个定数，因此，模糊值函数yˆ(x)=aˆ+bx+σE是定常模糊值函数，函数yˆ(x)在任何x处的模糊程度都是一致的，因此用以描述波动十分复杂的曲线时，无法刻画出不同的x点处数据分散的不确定性程度。此时，利用代数插值方法来估计模糊值函数更为合适。设观测数据（如时间序列）为{(x,y)