结构优化设计崔昌禹（哈尔滨工业大学）02理论基础ppt培训课件

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1、第二章结构优化设计的理论基础第二章结构优化设计的理论基础2.1数学预备知识2.2函数的极值与凸性2.3无约束极值问题的最优性条件2.4等式约束极值问题的最优性条件2.5不等式约束极值问题的最优性条件2.7Lagrange乘子的物理意义2.8结构优化设计的数值计算算法2.6一般约束极值问题的最优性条件第二章2.1数学预备知识2.1数学预备知识2.1数学预备知识2.1数学预备知识2.1数学预备知识2.1数学预备知识2.1数学预备知识2.1数学预备知识2.1数学预备知识梯度的几何意义2.1数学预备知识2.1数学预备知识2.1数学预备知识2.1数学预备知识2.1数学预

2、备知识第二章2.2函数的极值与凸性2.2函数的极值与凸性一、无约束最优解与有约束最优解1.无约束最优解2.有约束最优解最优点最优函数值无约束优化问题最优点最优函数值有约束优化问题可行域2.2函数的极值与凸性二、局部最优解与全局最优解1.全局最优解2.局部最优解若是问题的极小点，如果不等式对于所有的均成立，则称为全局极小点或全局最优解。如果存在的某个邻域，使得不等式对于任意的都成立，则称点为问题的局部极小点或局部最优解（简称局优解）。3.严格极小点如果在上述情况下，不等式处处严格成立，则称为严格全局极小点或严格局部极小点。2.2函数的极值与凸性三、函数的凸性（一

3、）凸集1.定义设集合2.性质任意多个凸集的交集是凸集两个凸集的代数和是凸集凸集的数乘是凸集凸集的闭包是凸集，如果，若仍然有，则称为一个凸集。2.2函数的极值与凸性2.2函数的极值与凸性（二）凸函数1.定义2.几何意义如果，若有，则称为一个凸函数。凸函数：弦在弧上凹函数：弦在弧下2.2函数的极值与凸性（二）凸函数3.判别判别①，恒有设为非空开凸集，在上可微且连续，则凸函数的充分必要条件是：为上判别②若函数在凸集上存在二阶导数并连续时，凸函数的充分必要条件为海赛矩阵半正定。为上2.2函数的极值与凸性（二）凸函数4.性质①凸函数的非负线性组合仍为凸函数。②实值凸函数

4、的非减函数仍为凸函数。③如果所有约束函数均为在上的凸函数，则中满足的子集为凸集。（三）凸规划1.定义如果可行域为凸集，而且目标函数在上为凸函数，则称为凸规划问题。2.定理凸规划问题的局部极小点就是其全局极小点。第二章2.3无约束极值问题的最优性条件GraduateCourseofOptimumDesignofStructures@HIT,LuDagang,Spring20072.3无约束极值问题的最优性条件2.3无约束极值问题的最优性条件2.3无约束极值问题的最优性条件2.3无约束极值问题的最优性条件2.3无约束极值问题的最优性条件2.3无约束极值问题的最优性

5、条件2.3无约束极值问题的最优性条件平稳点与极值点2.3无约束极值问题的最优性条件2.3无约束极值问题的最优性条件2.3无约束极值问题的最优性条件第二章2.4等式约束极值问题的最优性条件GraduateCourseofOptimumDesignofStructures@HIT,LuDagang,Spring20072.4等式约束极值问题的最优性条件2.4等式约束极值问题的最优性条件＝▽h(x)=02.4等式约束极值问题的最优性条件2.4等式约束极值问题的最优性条件2.4等式约束极值问题的最优性条件第二章2.5不等式约束极值问题的最优性条件GraduateCou

6、rseofOptimumDesignofStructures@HIT,LuDagang,Spring20072.5不等式约束极值问题的最优性条件2.5不等式约束极值问题的最优性条件2.5不等式约束极值问题的最优性条件2.5不等式约束极值问题的最优性条件=02.5不等式约束极值问题的最优性条件2.5不等式约束极值问题的最优性条件2.5不等式约束极值问题的最优性条件2.5不等式约束极值问题的最优性条件K-K-T条件的几何意义（1）K-K-T条件K-K-T条件（梯度条件）（约束条件）（松弛互补条件）（非负条件）（正则条件或约束规格）线性无关定义：处起作用的约束处没有

7、起作用的约束（可行域内部没有约束限制）处起作用的约束搜索方向满足；，即；夹角；与夹角；夹角；最优点，一定在与之间，所以可以起作用的非负线性组合表示。起作用的约束经过最优点，最优点满足所有的约束条件，这就是K-K-T条件，2.5不等式约束极值问题的最优性条件2.5不等式约束极值问题的最优性条件2.5不等式约束极值问题的最优性条件2.5不等式约束极值问题的最优性条件2.5不等式约束极值问题的最优性条件2.5不等式约束极值问题的最优性条件2.5不等式约束极值问题的最优性条件2.5不等式约束极值问题的最优性条件2.5不等式约束极值问题的最优性条件2.5不等式约束极值问

8、题的最优性条件2.5不等式约束极值问题