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1、第二章优化设计理论基础§2-1矩阵§2-2多元函数的一些问题§2-3多元函数极值一、矩阵的概念设一线性方程组如果把上面式子中的系数按原来的顺序排列起来，记作下面的形式：它就被称为矩阵简记为:§2-1矩阵由方阵的全部元素构成的行列式，称为矩阵的行列式，记为:当方阵的行列式,称为奇异方阵；,称为非奇异方阵。例：应用MATLAB求解A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];%生成矩阵Adet(A)%求A的行列式单位方阵:在阶方阵中，当主对角均为1，其余各元素都为零，则称作单位矩阵，并用特定符号表示，即在矩阵代数中，单位矩阵相当于一般代数中
2、纯1的概念。二、矩阵的转置若将原矩阵的行与列对换成列与行来写，就得到的转置矩阵，用表示，即同样，行矩阵的转置为列矩阵，列矩阵的转置为行矩阵，如例：应用MATLAB求解A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];%生成矩阵AA'%求A转置三、对称方阵当方阵具有，也即各元素的性质时，称为对称方阵。其全部元素沿主对角线呈对称发布，例如四、矩阵的运算1.矩阵相等两个同阶数的矩阵与，它们的阶数相同，并且各对应元素完全相等，即,则改两矩阵称为相等，记作。2.矩阵的加减两个同阶数的矩阵与可以进行加减运算，其和或差亦同阶矩阵。矩阵中各元素为矩阵、中各
3、对应元素之和或差。即：则必有相对于元素的对应关系矩阵加法满足交换律和结合律，设有同阶矩阵、、，则有3.矩阵的乘法（1）若以数乘矩阵,得同阶矩阵,记,规定中各元素就是中各元素乘以，即。（2）若以两个矩阵与相乘，则必须的列数等于的行数时才可以进行这种运算，它的乘积仍是一个矩阵，的行数同，的列数同，的第行列的元素等于中第行各元素与中第列各元素逐对相乘之积的总和，即关于矩阵乘积的某些性质：（1）当两矩阵之积为0时，并不意味着其中之一必为零矩阵。（2）当存在的关系时，的关系不一定成立。（3）当矩阵与单位方阵相乘时，其积仍为，即或（4）乘积的转置
4、4.逆矩阵对于一个n阶方阵（非奇异方阵），如果另有一个n阶方阵，能满足两者之积等于单位方阵，即时，则叫做的逆矩阵，记作。一个矩阵如果有逆矩阵，就叫它为可逆矩阵。逆矩阵是唯一的，由此推知由此看，也是的逆矩阵。例：应用MATLAB求解A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];%生成矩阵Ainv(A)%求A的逆把数学方程组写成矩阵的形式若矩阵是非奇异的（即），则以左乘上式等号两端，所以因有，则这里，只要求出系数矩阵的逆阵，再求出乘积，即可求出未知量。§2-2多元函数的一些问题1、方向导数2、关于梯度3、函数的泰勒级数§2-2多元函数的一些
5、问题1、方向导数一个二元函数在点处的偏导数定义是:而和分别是在点处沿x1和x2方向的变化率。§2-2多元函数的一些问题称它为该函数沿此方向的方向导数。那么在点处沿某一方向S的变化率如图所示，其定义为：方向导数是偏导数概念的推广§2-2多元函数的一些问题方向导数与偏导数之间的数量关系是：§2-2多元函数的一些问题n元函数在点x0处沿s方向的方向导数:二元到多元§2-2多元函数的一些问题2、关于梯度（1）、二元函数的梯度已知2元函数在点x0处沿s方向的方向导数:§2-2多元函数的一些问题为函数F(x1，x2)在x0点处的梯度。记§2-2多
6、元函数的一些问题令梯度的模：其中为梯度向量与S方向夹角的余弦。梯度方向和S方向重合时，方向导数值最大。§2-2多元函数的一些问题设：为单位向量。则有：梯度方向是函数值变化最快的方向，而梯度的模就是函数变化率的最大值。§2-2多元函数的一些问题（2）、多元函数的梯度§2-2多元函数的一些问题梯度的模：§2-2多元函数的一些问题梯度方向与等值线的关系图梯度两个重要性质：性质一函数在某点的梯度不为零，则必与过该点的等值面垂直；性质二梯度方向是函数具有最大变化率的方向。由于梯度的模因点而异，即函数在不同点处的最大变化率是不同的。因此，梯度是函
7、数的一种局部性质。§2-2多元函数的一些问题例题2-1求函数在点[3,2]T的梯度。在点x(1)=[3,2]T处的梯度为：解：§2-2多元函数的一些问题symsx1x2%将x1，x2设置为符号变量f=x1^2+x2^2-4*x1+4;%写出函数表达式fx1=diff(f,x1);%对x1求偏导数;fx2=diff(f,x2);%对x2求偏导数;x1=3;x2=2;%对x1,x2求偏导数赋值;g=[fx1fx2]';%梯度;g=subs(g)%把符号变量转为数值例2-2：试求目标函数在点处的最速下降方向，并求沿这个方向移动一个单位长度后
8、新点的目标函数值。则函数在处的最速下降方向是解：由于新点是这个方向上的单位向量是：clc;clear%清屏，清除内存中变量symsx1x2%将x1，x2定义为符号变量f=3*x1^2-4*x1*x2+x2^2;%函数fq
