工程优化设计-理论基础ppt课件.ppt

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1、工程优化设计黄正东二0一二年九月内容提要工程优化问题建模优化数学理论一维搜索方法无约束问题直接搜索方法无约束问题间接接搜索方法约束问题直接搜索方法线性规划与二次规划问题求解约束问题间接搜索方法启发式算法优化软件系统优化数学理论一.优化模型minf(x)s.t.hi(x)=0,i=1,2,…,mgi(x)≤0,i=m+1,…,px=(x1,x2,…,xn)TRn,f,gi,hi:Rn->R1二.约束相关概念(1)可行点(FeasiblePoint),x0满足hi(x0)=0,i=1,2,…,mg

2、i(x0)≤0,i=m+1,…,p优化数学理论(2)可行域(FeasibleRegion)g1(x)=9x1+4x2-360≤0g2(x)=3x1+10x2-300≤0g3(x)=4x1+5x2-200≤0g4(x)=-x1≤0g5(x)=-x2≤0优化数学理论优化数学理论(2)可行域(FeasibleRegion)F={x

3、hi(x)=0,i=1,2,…,mgi(x)≤0,i=m+1,…,p}例子:h1(x)=2x1+3x2+x3-6=0g2(x)=-x1≤0g3(x)=-x2≤0g4(x)=

4、-x3≤0x2x1x3F=ABCABCDE优化数学理论(3)有效约束,或取作用约束(ActiveConstraint)可行域边界点所在约束为该点的有效约束，其他约束为不取作用约束（Inactiveconstraint）。X(1):g1(x)≤0X(2):g1(x)≤0,g2(x)≤0X(3):无优化数学理论(3)有效约束,或取作用约束(ActiveConstraint)h1(x)=2x1+3x2+x3-6=0g2(x)=-x1≤0g3(x)=-x2≤0,g4(x)=-x3≤0x2x1x3F=

5、ABCABCDE对于约束gi(x)≤0,若gi(x0)=0,则gi是x0的有效约束.如g3是D的有效约束.对于约束gi(x)≤0,若gi(x0)<0,则gi是x0的无效约束,或不取作用约束.(Inactiveconstraint)如g2是D的无效约束.g2,g3,g4是E的无效约束.优化数学理论(3)有效约束,或取作用约束(ActiveConstraint)x2x1x3F=ABCABCDEx0的有效约束集合A(x0)={i

6、gi(x0)=0,i=m+1,…,p}A(A)={2,4},A(D)=

7、{3},A(E)=h1(x)=2x1+3x2+x3-6=0g2(x)=-x1≤0g3(x)=-x2≤0,g4(x)=-x3≤0优化数学理论三.凸集凸集定义:集合DRn称为凸的,如果对于任意x,yD有x+(1-)yD,01优化数学理论三.凸集凸集分离定理:设DRn为非空闭凸集,yRn,yD,则存在非零向量aRn和实数,使得aTxaTy,xD即存在超平面H={xRn

8、aTx=}严格分离点y与凸集D.yxaax0x1aT(x1-x0)=0->aTx1=aTx

9、0=aT(y-x0)>0->aTy>aTx0=aT(x-x0)0->aTxaTx0=优化数学理论四.Farkas引理(线性不等式定理)设ARmxn,bRn,则下述两组方程中仅有一组有解:(1)Ax0,bTx>0(2)ATy=b,y0这里xRn,yRm,aiTx0,ai与x的夹角90oATy=(a1,a2,…,am)y=y1a1+y2a2+…+ymam=bb是a1,a2,…,am的正线性组合揭示了m个向量与另一向量的线性组合,与它们定义的半空间交集的联系.aiTx0,a

10、i与x的夹角90o优化数学理论ATy=(a1,a2,…,am)y=y1a1+y2a2+…+ymam=bb是a1,a2,…,am的正线性组合b属于D0情况1:a2a2Tx0a1Tx0a1b=y1a1+y2a2,y1>0,y2>0,(2)有解bTx>0D2D1D1D2=,所以(1)无解.D1={x

11、a1Tx0,a2Tx0}D2={x

12、bTx>0}D0aiTx0,ai与x的夹角90o优化数学理论ATy=(a1,a2,…,am)y=y1a1+y2a2+…+ymam=bb是a1,a2,

13、…,am的正线性组合情况2:a2a2Tx0a1Tx0a1bbTx>0D1D0不包含b,所以ATyb(2)无解.D1D2,(1)有解D1={x

14、a1Tx0,a2Tx0}D2={x

15、bTx>0}D2D0a1a4a3a2aiTx<0,所有ai都在以x为法向的平面的反侧优化数学理论ATy=(a1,a2,…,am)y=y1a1+y2a2+…+ymam=0存在三角形aiajak包含原点表明ai在大于等于180o的扇区内.Gordan择一定理:设ARmxn,则或者存在xRn,使Ax<0,或