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1、第四章曲线和曲面参考书：1.计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条（施法中） 2.计算机辅助几何设计（王国瑾汪国昭郑建民 3.自由曲线曲面造型技术（朱心雄等）第一节曲线和曲面表示的基础知识第二节Hermite多项式第三节Coons曲面第四节Bezier曲线和曲面第五节B样条曲线和曲面10/4/20211曲线与曲面曲线曲面的计算机辅助设计源于20世纪60年代的飞机和汽车工业。1963年美国波音（Boeing）飞机公司的佛格森（Ferguson）将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，并用三次参数曲线构造组合曲线，用四个角点的位置矢
2、量及其两个方向的切矢量定义三次曲面。1964年美国麻省理工学院（MIT）的孔斯（Coons）用封闭曲线的四条边界定义一块曲面。1964年，舍恩伯格（Schoenberg）提出了参数样条曲线、曲面的形式。1971年法国雷诺（Renault）汽车公司的贝塞尔（Bezier）发表了一种用控制多边形定义曲线和曲面的方法。1971年，法国雪铁龙（Citroen）汽车公司的德卡斯特里奥（deCasterljau）也独立地研究出与Bezier类似的方法。10/4/20212曲线与曲面1972年，德布尔（deBoor）也给出了B样条的标
3、准计算方法。1974年，美国通用汽车公司的戈登（Gordon）和里森费尔德（Riesenfeld）将B样条理论用于形状描述，提出了B样条曲线、曲面。1975年，美国锡拉丘兹（Syracuse）大学的佛斯普里尔（Versprill）在其博士论文中提出了有理B样条方法。20世纪80年代后期，美国的皮格尔（Piegl）和蒂勒（Tiller）将有理B样条发展成非均匀有理B样条（NURBS）方法10/4/20213曲线与曲面曲线曲面的计算机辅助设计源于20世纪60年代的飞机和汽车工业。1963年美国波音公司的Ferguson提出用
4、于飞机设计的参数三次方程；1962年法国雷诺汽车公司的Bézier于提出的以逼近为基础的曲线曲面设计系统UNISURF，此前deCasteljau大约于1959年在法国另一家汽车公司雪铁龙的CAD系统中有同样的设计，但因为保密的原因而没有公布；1964年Coons提出了一类布尔和形式的曲面；1972年，deBoor和Cox分别给出B样条的标准算法；1975年以后，Riesenfeld等人研究了非均匀B样条曲线曲面，美国锡拉丘兹大学的Versprille研究了有理B样条曲线曲面，20世纪80年末、90年代初，Piegl和T
5、iller等人对有理B样条曲线曲面进行了深入的研究，并形成非均匀有理B样条(Non-UniformRationalB-Spline，简称NURBS)；1991年国际标准组织(ISO)正式颁布了产品数据交换的国际标准STEP，NURBS是工业产品几何定义唯一的一种自由型曲线曲面。10/4/2021410/4/20215第一节曲线和曲面表示的基础知识1.显式、隐式和参数表示①显式：y=f(x)不能表示封闭曲线或多值曲线（圆）②隐式：f(x,y)=0,f(x,y,z)=0球面10/4/20216显式或隐式表示的缺点（1）与坐标
6、轴相关的，不便于坐标变换；（2）无法解决斜率为无穷大的情况；（3）对于空间复杂曲线曲面很难表示（4）不便于计算和编程10/4/20217③参数表示（解决上述问题）在空间曲线的参数表示中，曲线上每一点的坐标均要表示成某个参数t的一个函数式，则曲线上每一点笛卡尔坐标参数式是：空间曲线：把三个方程合写到一起，曲线上一点坐标的矢量表示是：10/4/20218关于参数t的切矢量或导函数是：曲面写为参数方程形式为:曲线或曲面的某一部分，可以简单地用a≤u,w≤b界定它的范围10/4/20219直线段端点坐标分别是P1[x1,y1],
7、P2[x2,y2]，直线段的参数表达式是：P(t)=P1+(P2-P1)t=(1-t)P1+tP20≤t≤1；参数表示相应的x,y坐标分量是：x(t)=x1+(x2-x1)ty(t)=y1+(y2-y1)t0≤t≤110/4/202110空间直线段P1[x1,y1,z1],P2[x2,y2,z2]P(t)代表曲线上的一点P(t)=P1+(P2-P1)t=(1-t)P1+tP210/4/202111参数方程具有如下优点：有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。便于坐标变换便于处理斜率为无限大的问题，不会因此中断计算代数、几何
8、相关和无关的变量是完全分离的，而且对变量个数不限，便于向高维空间扩展。t∈[0,1],直接定义了边界。便于曲线和曲面的分段、分片描述。易于用矢量和矩阵表示，从而简化了计算。10/4/202112基本概念插值要求构造一条曲线顺序通过型值点，称为对这些型值点进行插值（interpolation）。10/4/202113给
