专题复习最值问题（一）

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1、专题复习最值问题（一）教学目标知识与技能：用轴对称变换解决数学问题中的最值问题.过程与方法：体会轴对称变换在解决几何问题中的转化作用，增强数学的应用意识.情感态度与价值观：在解决问题的过程中，帮助学生认识数学和人们生活的密切联系，体验探索的快乐与成功的喜悦.教学重点：轴对称变换教学难点：如何通过轴对称变换进行转化教学用具：计算机辅助教学教学过程：一．引入已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)、C(5，0)两点.(1)求此抛物线的解析式；(2)若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点E)，再到达抛物线的对称轴上某点

2、(设为点F)，最后运动到点A。求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长.设计意图：这道题是2006年北京市中考海淀卷的24题，通过这道题告诉学生这一专题的重要性，激发学生的学习兴趣。二．例题例(1)如图1-1，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两城镇供气泵站修在什么地方，可使所用的输气管线最短?(2)如图1-2，公园内两条小河汇合，两河形成的半岛上有一处古迹P，现计划在两条小河上各修建一座小桥（垂直于河岸），并在半岛上修三条小路，连通两座小桥与古迹，这两座小桥应建在何处，使修路的费用最少？(3)如图1-3，公园中有两处古迹P和Q，现计划在

3、两条小河上各修建一座小桥（垂直于河岸），并在半岛上修四条小路，连通两座小桥与古迹，这两座小桥应建在何处，才能使修路的费用最少？(4)如图1-4，现有一条地铁线路l，小区A和小区B在l的同侧，已知地铁站两入口C、D间的长度为a米，现设计两条路AC、BD连接入口和两小区地铁站入口C、D设计在何处，能使得修建公路AC与BD的费用和最少？图1-1图1-2图1-3图1-45解：(1)如图1-5作点A关于直线l对称的点A′,连接A′B交直线l于点P．∴点P即为所求．(2)如图1-6作点P关于射线OA、OD的对称点P′、P′′,连接P′P′′交OA于C，交OD于B．∴点B、C即为所求．.

4、(3)如图1-7作点P关于射线OB的对称点P′、点Q关于射线OA的对称点Q′、,连接P′Q′交OA于C，交OB于D．∴点D、C即为所求．(4)如图1-8作线段AA′使得AA′∥直线l且AA′=a，做点A′关于直线l的对称点A′′,连接A′′B交直线l于D,在直线l上截CD=a．∴点D、C即为所求．图1-6图1-5图1-7图1-8设计意图：通过实际问题转化为数学问题，一方面提高学生的学习兴趣，最主要是掌握初中数学中线段和差的最值问题的基本图形，以便于学生再碰到类似问题时有法可循。ABCDNM三．练习1如图，在锐角△ABC中，，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和A

5、B上的动点，则BM+MN的最小值是___________．2请阅读下列材料：5问题：如图1，点A、B在直线l的同侧，在直线l找一点P，使得AP+BP的值最小。小明的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点P即为所求图3请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：(1)如图3，在图2的基础上，设与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D.若CP=1，PD=2，AC=1，写出AP+BP的值；(2)将(1)中的条件“AC=1”去掉，换成“BD=4-AC”，其它条件不变，写出此时AP+BP的值；(3)请结合图形，直接写出的最小值.3在平面直角坐标系xOy

6、中，直线分别交x轴、y轴于C、A两点将射线AM绕着点A顺时针旋转45°得到射线AN，点D为AM上的动点，点B为AN上的动点，点C在∠MAN的内部,求△BCD周长的最小值；.4如图,在平面直角坐标系中,Rt△AOB的顶点坐标分别为A(-2,0),O(0,0),B(0,4),把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°,得到△COD.(1)求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；(2)在(1)中的抛物线的对称轴上取两点E、F(点E在点F的上方)，且EF=1,使四边形ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标.5x抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为直线x=-1，B

7、(1,0)，C(0,-3)在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到A、C两点距离之差最大？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：1．42．(1)的值为．(2)的值为5．5(3)的最小值为．3．如图，作点C关于射线AM的对称点C1，点C关于射线AN的对称点C2由轴对称的性质，可知CD=C1D，CB=C2B∴C2B+BD+C1D=CB+BD+CD连结AC1、AC2，可得∠C1AD=∠CAD，∠C2AB=∠CAB，AC1=AC2=AC=4∵∠DAB=45°，∴∠C1AC2=90°连结C1C2∵两点之间线段