圆的补充题(教师)

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1、创思教育70期圆综合补充练习1、（2013年紫荆二模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结CP、OP，OP交AC于点G．（1）BD=DC吗？说明理由；（2）求∠BOP的度数；（3）求证：CP是⊙O的切线；解：（1）BD=DC．理由如下：连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC；102、（2013文园3模）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，且∠CBD=∠B

2、AC，OD交⊙O于点E．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若点E为线段OD的中点，证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形；（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，又∵∠CBD=∠BAC，∴∠ABC+∠CBD=90°，∴∠ABD=90°，∴OB⊥BD，∴BD为⊙O的切线；（2）证明：连CE、OC，BE，如图，∵OE=ED，∠OBD=90°，∴BE=OE=ED，∴OB=BE=OE，∴△OBE为等边三角形，∴∠BOE=60°，又∵AC∥OD，∴∠OAC=60°，又∵OA=OC，∴AC

3、=OA=OE，10∴AC∥OE且AC=OE，∴四边形OACE是平行四边形，而OA=OE，∴四边形OACE是菱形；3、（2012文园二模）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H．已知⊙O与AB边相切，切点为F．（1）求证：OE∥AB；（1）证明：在等腰梯形ABCD中，AB=DC，∴∠B=∠C，∵OE=OC，∴∠OEC=∠C，∴∠B=∠OEC，∴OE∥AB．（2）证明：连接OF．∵⊙O与AB切于点F，∴OF⊥AB，∵EH⊥AB，∴OF∥E

4、H，又∵OE∥AB，∴四边形OEHF为平行四边形，∴EH=OF，4、（2013香洲一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=60°，BC，AB边上的高AE，CF相交于点H．试证明：（1）∠FAH=∠CAO；（2）四边形AHDO是菱形．10（2）过点O作OM⊥AC于M，∴AC=2AM，∵CF⊥AB，∠BAC=60°，∴AC=2AF，∴AF=AM，在△AFH与△AMO中，∵∠FAH=∠CAO，AF=AM，∠AFH=∠AMO，∴△AFH≌△AMO，∴AH=OA，∵OA=OD，∴AH平行且等于OD．∴四边形AHDO是平行四边形（一组

5、对边平行且相等的四边形是平行四边形），又∵OA=OD，∴平行四边形AHDO是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）105．（2013文园一模2012•苏州）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4）．（1）当x=时，求弦PA、PB的长度；（2）当x为何值时，PD•CD的值最大？最大值是多少？考点：切线的性质；二次函数的最值；勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质．10（2）过O作OE⊥PD，垂足为

6、E，∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，∴PE=ED，又∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°，∴四边形OACE为矩形，∴CE=OA=2，又PC=x，∴PE=ED=PC-CE=x-2，∴PD=2（x-2），∴CD=PC-PD=x-2（x-2）=x-2x+4=4-x，∴PD•CD=2（x-2）•（4-x）=-2x2+12x-16=-2（x-3）2+2，∵2＜x＜4，∴当x=3时，PD•CD的值最大，最大值是2．10点评：此题考查了切线的性质，平行线的性质，矩形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质

7、，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．6．（2014实验二模）（9分）如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且∠DBA=∠BCD．（1）根据你的判断：BD是⊙O的切线吗？为什么？（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为10，△AFC的面积为20，试求∠BFA的度数．10考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有分析：（1）连结BO，则可得∠BAO=∠ABO，由AC为直径结合已知∠DBA=∠BCD，可得∠DBO=90°可证得结论；（2）可证得△BFE∽△AFC，可得出，

8、可求得∠AFB为45°．10解：（1）BD是⊙O的切线，理由如下：连结BO，如图∵BO=AO∴∠BAO=∠ABO∵AC为直径∴∠BAO+∠ACB=90°∵∠DBA=∠BCD∴∠DBA+∠ABO=90°即∠DBO=90°∴OB⊥DB∴BD是⊙O的切线．（2）由圆周角定理可知∠BEF=∠ACF