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1、《杨辉三角》教案2教学内容：人教版数学高中选修《杨辉三角》教学目标：知识与技能：掌握二项式系数的四个性质.过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力.情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1一5—1提供的信息，从特殊到一般,归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明.教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学过程：一、复习引入：1.二项式定理及其特例：⑴(d+by=cy+Canb+…+Cn
2、an'rbr+…+C；：b"gM),(2)(1+x)n=1+C占x+…+C；X+…+x"•2.二项展开式的通项公式：Tr+i=qtan-rbr3.求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对厂的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性二、讲解新课：1二项式系数表(杨辉三角)(G+b)”展开式的二项式系数，当川依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1,除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2.二项式系数的性质：(°+方)“展开式的二项式系数是Cf,C；,C：,…，C；；.C；
3、可以看成以厂为自变量的函数•/")厂定义域是{0,1,2,…,72},例当n=6时，其图象是7个孤立的点(如20•心号18気图)16⑴对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(・・・C：=C；「).直线厂=—是图象的对称轴.2(2)增减性与最大值.・・・C；-1)(〃-2)…d+1)=c「•口11,kk・・・C：相对于C,「的增减情况由决定,—E>1OkV皿，kk2n+1当£v——时，二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在2中间取得最大值；n〃一1〃+1当刃是偶数吋，
4、中间一项取得最大值；当刃是奇数吋，中间两项c丁，c〒取得最大值.(3)各二项式系数和：*.*(14-x)H=1+Cx+…+C：xl+…+兀"，令x=l,则2"=q+C：+C；+...+C：+・..+C；：三、讲解范例：例1.在(d+b)"的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式(a+b)n=Cy+Canb+•••+Cyrbr+•••+C^bn(mgTV*)中，令a=i,b=-it则(1-iy=cmc：-c：+…+(-iyc：,即O=(C：+C；+…)-(C；+C；
5、+…)，・・・c；【+c；+…=c：+G+…,即在(a+br的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.说明：由性质⑶及例1知C；：+C；+•・・=©+©+・••=例2.己知(1—2%)7=61^4-Cl^X+Cl-fX"HCljX7,求：⑴Q]+；(2)q+他+%+%；⑶II+丨4I丨丨•解：(1)当兀=1吋，(1—2兀)7=(1—2)7=—1,展开式右边为兔+⑷+Q?+…+吗/.d()+0]+色+…+=—1，当x=0时，兔=1，.•・同+他+…+如=一1一1=一2，⑵令X=1,d
6、。+d]+色如=—1①1+37~T令X=—1,Q()_Q]+色_口3+^4_+^6_^7=3?②①一②得：2(坷+%+。5+。7)=—1—3?9•*•马+色+色+。7=(3)由展开式知：444卫7均为负，均为正,・••由⑵中①+②得：2(。0+。2+。4+。6)=—1+3?，・一1+3?••勺++°4+。6二'•ICIq
7、+
8、q
9、IClj
10、=d()—d]十d?_。3+^4_。5+。6_°7=(d()+a?+°4+4)一(。1+a3+05+07)=37例3.求(1+兀)+(1+兀)2+-+(l+x)1
11、0展开式中』的系数解：(1+X)+(1+X)2+-(1+X)IQ=(1+X)
12、1-(1+X)'01l—(l+x)_(x+l)11—(x+1)二,・・・原式中，实为这分子中的兀°，则所求系数为C：例4.在(2+3兀+2)'的展开式屮,求jv的系数解：V(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5•••在(x+l)5展开式中，常数项为1,含X的项为C；=5x,在(2+x)5展开式屮，常数项为2匸32,含兀的项为C；24x=80x•••展开式中含兀的项为1-(80x)4-5x(32)=240x,•••此展
13、开式屮x的系数为240例5•已知(坂-壬『的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为⑷3,求展开式的常数项解：依题意C：:C：=14:3n3C：=14C：/e3n(n-l)("一2)(〃-3)/4!=4n(n-l)/2!=>n=10°10-5rr+l设第卄1项为常数项，又Tf=C；o(仮)心「(一厶)「=(-2)「C；oxTX_令10_5r=0»=2,2/.T2+1=C?0(-2)2=180.此所求常数项为180例6.设(l+x)+(l+x)2+(l+
