杨辉三角教案.doc

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1、杨辉三角教案依兰高中数学组段性春●课题：杨辉三角●教学目标1.知识与技能：了解有关杨辉三角的简史，理解并掌握有关杨辉三角的性质2.过程与方法：通过研究杨辉三角的数字规律，充分理解、体验由特殊到一般的探索过程和归纳与演绎有机结合的重要的思想方法3.情感态度与价值观：通过小组讨论，培养学生实际动手操作实践创新的能力，培养学生的创新精神，探索精神和应用能力。让学生在探索过程体验数学活动，数学发现的成功的愉悦。●教学重点让学生理解、体验杨辉三角的性质的探索、发现的过程与方法，掌握由特殊到一般的归纳方法和严格的演绎证明的有机结合。●教学难

2、点杨辉三角的性质的探索和发现。●教学方法建构主义观点指导下的探究的、讨论的教学方法。●教具准备：多媒体课件●教学过程Ⅰ.课题导入杨辉三角是我国古代数学的研究成果之一，它的发现远早于法国数学家帕斯卡，它和勾股定理，圆周率的计算等其他中国古代数学成就，显示了我国古代劳动人民的卓越智慧和才能．（用电脑展示杨辉三角对照杨辉三角），回顾已经学过的杨辉三角的构造及基本性质，并由学生叙述。1°与二项式定理的关系：杨辉三角的第n行就是二项式展开式的系数列。2°对称性：杨辉三角中的数字左、右对称，对称轴是杨辉三角形底边上的“高”。3°结构特征：杨

3、辉三角除斜边上1以外的各数，都等于它“肩上”的两数之和。其中.5（二）分组研究杨辉三角规律（将全班学生按前后排四或五人一组分成若干研究小组）1．介绍数学发现的方法：杨辉三角中蕴涵了许多优美的规律。古今中外，许多数学家如贾宪、杨辉、帕斯卡、华罗庚等都曾深入研究过，并将研究结果应用于其他工作。2．学生尝试探索活动。按研究数字规律的方向开展研究工作，工作的重点是发现规律。教师巡视指导，必要时可参与某小组的讨论活动。最后由小组代表陈述研究结果及建立猜想的大致思路。有关数字规律及性质：（1）杨辉三角中第－1行的所有数都是奇数（k∈N*）；

4、第行的所有数（除两端的1以外）都是偶数（k∈N*）；其他行的所有数中，一定既有偶数又有除1以外的奇数。（2）第p（p为素数）行除去两端的数字1以外的所有数都能被p整除，其逆命题也成立。即如果p是素数，那么在杨辉三角的第p行中，除去两端的数字1外，行数p整除其余的所有的数，即p

5、(r=1，2，…，p－1).我们从杨辉三角中一个确定的数开始(例如10)，根据杨辉三角的基本性质，它是它左右肩上的两数之和(10=4+6)；然后把左肩固定而考虑右肩，它又是它左右肩上的两数的和(6=3+3).这样进行下去，总是把左肩固定而对右肩运用这一规则

6、，我们便可以得出：杨辉三角中，从一个数的“左肩”出发，向右上方作一条和左斜边平等的直线，位于这条直线上的各数的和等于这个数.图中所表示的就是10=4+6=4+(3+3)=4+［3+(2+1)］，即1+2+3+4=10。将上面的规律推广，我们可以得到：在杨辉三角中，第r条斜线(从右上到左下)上前n个数字的和，等于第r+1条斜线上的第n个数.根据这一性质，请猜想下列数列的前n项和：1+1+1+…+1=，1+2+3+…+=，1+3+6+…+=，1+4+10+…+=，一般地，我们有：.根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角中，第r条斜

7、(从左上到右下)上前n个数字的和，等于第r+1条斜线上第n个数。5介绍斐波那契“兔子繁殖问题”增强趣味性中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……从第三项开始，任何一个数都等于它前面的两个数之和，即a1=1，a2=1，an+2=an+1+an，

8、，(n∈N*)。这就是著名的斐波那契数列.它所具有的性质都是杨辉三角中有蕴含的性质，杨辉三角与“弹子游戏”：在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球(黑色)向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为什么两边区奖品高于中间区奖品？（通过“弹子游戏”了解现代数学家华罗庚，增强爱国情感。）照这样计算第n+1层有n+1个通道，弹子通过各通道的概率将是多少？通过类推，很容易得到弹子落到第n+1层各个框子里的概率分别为.这与杨

9、辉三角有何关系？如果在漏斗里放颗弹子，它们落在第n+1层中各个框子中弹子的数目(按可能情形来计算)正好是杨辉三角的第n行的数字，即，5杨辉三角与“纵横路线图”“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题：如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A处走到B处(只