人教版高中数学高二选修4-5练习：第二讲23反证法和放缩法word版含解析

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1、第二讲证明不等式的基本方法2.3反证法与放缩法高效演练知能提升基础巩一、选择题1.用反证法证明命题“如果0＞方,33那么也〉远”时，假设的内容是（333333C.yla=[b9且込V远33B.[a<[b3333D.也=远或込V训333333解析：应假设也W远，即fa=[b或也V远.答案：D2.实数°,b,c不全为0的等价命题为（）A・a,b,c均不为0B・a,b,c中至多有一个为0C・a,b,c中至少有一个为0D・a,b,c中至少有一个不为0答案：D3・用反证法证明：若整系数一元二次方程处+c=o（aH0）有有理根,那么a,b,c中至少有一个偶数，下列假设中正确的是

2、（）A.假设a,b,c都是偶数B.假设a,b,c都不是偶数c・假设a,b,c至多有一个偶数D.假设a,b,c至多有两个偶数解析：至少有一个是的否定为都不是.答案：B4.设兀，yfz都是正实数,0=兀+£,b=y+Kc=z+£,则a,b,c三个y数()A・至少有一个不大于2B・都小于2C・至少有一个不小于2D・都大于2解析：因为a+〃+c=x+2+y+Z+z+丄$2+2+2=6,当且仅当x=y=z兀yz=1时等号成立，所以a,b,c三者中至少有一个不小于2・答案：C5.若不等式X2—2ax+a>0对一切实数兀WR恒成立，则关于f的不等式aF+2/-3<1的解集为()A.(一3,

3、1)B.(一8,-3)U(1,+8)C・0D・(0,1)解析：不等式X2-2ax++a>0对一切实数x^R恒成立，则△=(—2°)?—4aV0,即a2—a<0,解得00,解得t<—3或(>1・答案：B二、填空题6.某同学准备用反证法证明如下一个问题，函数几r)在0,1]±有意义，且f(0)=f(l)9如果对于不同的兀1，x2^0,1],都有IfUi)—/(x2)I<

4、xi—x2b求证：

5、A^i)-Xx2)

6、<

7、,那么它的假设应该是・答案：假设

8、/Ul)—/U2)pf7.Ig9-lgll与1的大小关系是解析:因为何聞V艸

9、11=讐V号叽1,所以lg9•lg11<1.答案：lg9-lg11<18・设a,b,c均为正数,jP=a+“—c,0=〃+c—a,7?=c+a—贝!)“PQR>0”是“P,Q,R同时大于零”的条件.解析：必要性是显然成立的；当P0/?>O时，若P,0,R不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P>0,QV0,/?<0,则Q+R=2cV0,这与c>0矛盾，即充分性也成立.答案：充要三、解答题1+兀1+V9.已知兀，j>0,且x+y>2.求证：一,中至少有一个小于2・y兀证明：(反证法)设1+兀x$2,由①②式可得2+x+j^2(x+j),即兀+yW2,与题设矛盾.所以斗兰

10、，上学中至少有一个小于2・yx10・设a>0,方>0,且。+方=+++•证明:⑴a+心2;(2)/+aV2与b2+b<2不可能同时成立.证明：由a+b=^+和=。士“,a>0,b>0,得血=1・(1)由基本不等式及ab=l9有a+bM2価=2,即a+b^2.(2)假设/+aV2与b2+b<2同时成立，则由a1+a<2及a>0得OVaVl；同理，OVbVl,从而血VI,这与ab=l矛盾.故/+qV2与b2+b<2不可能同时成立.B级能力提升1.若°>0,〃>0,满足血Ml+a+b,那么（）A.a^b有最小值2+2y/2B.a+b有最大值（迄+厅C.血有最大值迄+1D."有最小值

11、2+2&解析=1+。+方Wa方W所以（a+ZO?—4（°+方）一4$0,解得a+bW2—2迄或a+bM2+2迄,因为a>0,b>09所以a+b^2+2y/2f故选A・答案:A=J2.设兀，y9z,/满足1WxWyWWlOO,贝呼+彳的最小值为y/解析：因为訐拦,且待孟’所以汁汉+孟尹弋•铝,当且仅当x=l,J=Z=1O,Z=1O0时，等号成立.答案乙3.若数列｛如的通项公式为an=n29neN*,求证：对一切正整数弘有丄+证明：①当比=1时，±=1吕，所以原不等式成立.②当n=2时，1117石+玄=1+幵所以原不等式成立.③当兀M3时,因为/>（〃一1）・（〃+1）,所以4v

12、72(n—1)•(n+1)麦+戎+・・・+《丄2》〃+q—2[n—2n)所以当n^3时，所以原不等式成立.1117综上所述，对一切正整数nf有一+—F—