2017-2018学年高中数学第二章参数方程二1椭圆的参数方程教学案新人教a版选修4-4

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1、1.椭的参数方程［对应学生用书P22］椭圆的参数方程x=e?cosG,.二（0是参y=Z?sin（P（i）中心在原点，焦点在/轴上的椭圆4+^=i的参数方程是《数），规定参数0的取值范围是⑵中心在（力，幻的椭圆普通方程为X—'1~+y］_=］,则其参数方程为x=h+acos（!）「l,（Q是参数）•y=k-vbsinG椭圆的参数方程的应用：求最值22［例1］已知实数才，y满足右+話=1，求目标函数2=丸一2y的最大值与最小值.［思路点拨］将椭圆上的点的坐标设成参数方程的形式，将问题转化成三角函数求最值问题.xy仪=5cos妙，［解］椭圆77+77=1的参数方程为‘.人2

2、blb［y=4sin©（e为参数）.代入目标函数得z=5cos0—8sinO=p5'+8‘cos（0+矶）8=Q^cos（0+0o）（tan0o=7）・所以目标函数％in=—7丙，z^=y［89.［方法・规律・小结］〜利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是利用辅助角公式转化为三角函数求解.//////^，^集钊v////xy1.已知椭圆亦+肓=1，点/的坐标为(3,0).在椭圆上找一点使点戶与点力的距离最大.az=5cos()解：椭圆的参数方程为‘.a(“为参数).y=4sin0设P(5cos“，4sin&),则PA

3、=~5cos~0—3~~4sin~~

4、~0+25=~3cos~~0_5~~=13cos0—51W8,当cos〃=—1时，

5、必

6、最大.此时，sin〃=0,点P的坐标为(-5,0).椭圆参数方程的应用：求轨迹方程［例2］已知儿〃分别是椭圆計沪1的右顶点和上顶点，动点Q在该椭圆上运动,求△血加的重心G的轨迹方程.［思路点拨］由条件可知，〃两点坐标己知，点。在椭圆上，故可设出点戶坐标的椭圆参数方程形式，由三角形重心坐标公式求解.［解］由题意知水6,0)、〃(0,3).由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为(6cos“，3sin〃)，点G的坐标设为(x,y),由三角形重心的坐标公式可得6十0+6cos0=30+

7、3+3sin0x=2+2cos0,即I尸1+sin0.消去参数〃得到v-22z/■+(y-l)2=l.［方法•规律•小结］、本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便.1.已知椭圆方程是話+彳=1,点水6,6）,P是椭圆上一动点，求线段必中点0的轨迹方程.解：设P（4cos0,3sin0),Qlx、y),则有x=2cos〃+3,BP

8、sin〃+3.（0为参数）r4cos〃+6尸23sin〃+6/=29lx—3）+16（y—3）'=36,即为所求.2.设尽尺分别为椭圆C：尹令=1@＞力＞0）的左、右两个焦点.（1）若椭

9、圆C上的点水1,］）到斤，尺的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标;（2）设点P是（1）中所得椭圆上的动点，求线段EP的中点的轨迹方程.解：（1）由椭圆上点力到凡尺的距离之和是4,得2自=4,即＜a=2.3又点弭（1,R在椭圆上，3212因此才+p=］，得佇=3,于是c=菱_B=1,22所以椭圆Q的方程为才+才=1,焦点坐标为幷（一1,0）,尺（1,0）.⑵设椭圆C上的动点"的坐标为（2cos〃，萌sin“），线段必的中点坐标为匕，2cosx=0_12£sin〃+0尸2所以x+~=cos2y0.i4/消去〃，得匕+?2+寸=1.即为线段中点的轨迹方程.椭圆参数方程

10、的应用：证明定值2［例3］已知椭圆

11、+y=i上任一点〃（除短轴端点外）与短轴两端点乩§的连线分别交/轴于只g两点，求证：丨〃

12、・丨％

13、为定值.［思路点拨］利用参数方程，设出点曲的坐标，并由此得到直线胎，宓的方程，从而得到P、0两点坐标，求出P,Q,再求

14、岀・

15、0Q的值.［证明］设X2cose,sinQ）,0为参数，«（0,-1）,5（0,1）.sin0+1则眼的方程：y+1=：入•x.2cos（1）sin0+1'2cose1+sin（t>姻的方程:sin0—12cose令尸0,则2cose1—sine2cose1—sinO・•・畅・IOQ=2cose1+

16、sin©2cose1—sin©即•IWl=4为定值.［方法・规律・小结］、利用参数方程证明定值（或恒成立）问题，首先是用参数把要证明的定值（或恒成立的式子）表示出来，然后利用条件消去参数，得到一个与参数无关的定值即可.”=z?cose,1.曲线,e（自＞方＞0）上一点M与两焦点几尺所成角为"朋=a•[y=bsin〃求证：△凡豹的面积为Z?2tan—证明：•・•〃在椭圆上，・••由椭圆的定义，得：

17、斯

18、+

19、奶

20、=2自，两边平方，^MFx2+MF22+2MFi・

21、宓

22、=4/.在△刖偲中,由余弦定理,得

23、銅牛

24、阀2一2饬

25、

26、阀cos