2019-2020年高中数学第二章参数方程二1椭圆的参数方程教学案新人教A版选修4-4

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1、2019-2020年高中数学第二章参数方程二1椭圆的参数方程教学案新人教A版选修4-4　　　　　　　　　　　　椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的参数方程是(φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0,2π)．(2)中心在(h，k)的椭圆普通方程为＋＝1，则其参数方程为(φ是参数)．　　　　　　　　　　　　椭圆的参数方程的应用：求最值[例1]　已知实数x，y满足＋＝1，求目标函数z＝x－2y的最大值与最小值．[思路点拨]　将椭圆上的点的坐标设成参数方程的形式，将问题转化成三角函数求最值问题．[解]　椭圆

2、＋＝1的参数方程为(φ为参数)．代入目标函数得z＝5cosφ－8sinφ＝cos(φ＋φ0)＝cos(φ＋φ0)(tanφ0＝)．所以目标函数zmin＝－，zmax＝.利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是利用辅助角公式转化为三角函数求解．1．已知椭圆＋＝1，点A的坐标为(3,0)．在椭圆上找一点P，使点P与点A的距离最大．解：椭圆的参数方程为(θ为参数)．设P(5cosθ，4sinθ)，则

3、PA

4、＝＝＝＝

5、3cosθ－5

6、≤8，当cosθ＝－1时，

7、PA

8、最大．此时，sinθ＝0，点P的坐标为(－5,0)

9、.椭圆参数方程的应用：求轨迹方程[例2]　已知A，B分别是椭圆＋＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程．[思路点拨]　由条件可知，A，B两点坐标已知，点C在椭圆上，故可设出点P坐标的椭圆参数方程形式，由三角形重心坐标公式求解．[解]　由题意知A(6,0)、B(0,3)．由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为(6cosθ，3sinθ)，点G的坐标设为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得即消去参数θ得到＋(y－1)2＝1.本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参

10、数方程显得很简单，运算更简便．2．已知椭圆方程是＋＝1，点A(6,6)，P是椭圆上一动点，求线段PA中点Q的轨迹方程．解：设P(4cosθ，3sinθ)，Q(x，y)，则有即(θ为参数)∴9(x－3)2＋16(y－3)2＝36，即为所求．3．设F1、F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点．(1)若椭圆C上的点A(1，)到F1，F2的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程．解：(1)由椭圆上点A到F1，F2的距离之和是4，得2a＝4，

11、即a＝2.又点A(1，)在椭圆上，因此＋＝1，得b2＝3，于是c2＝a2－b2＝1，所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)．(2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cosθ，sinθ)，线段F1P的中点坐标为(x，y)，则x＝，y＝，所以x＋＝cosθ，＝sinθ.消去θ，得(x＋)2＋＝1.即为线段F1P中点的轨迹方程.椭圆参数方程的应用：证明定值[例3]　已知椭圆＋y2＝1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1、B2的连线分别交x轴于P、Q两点，求证：

12、OP

13、·

14、OQ

15、为定值．[思路点拨

16、]　利用参数方程，设出点M的坐标，并由此得到直线MB1，MB2的方程，从而得到P、Q两点坐标，求出

17、OP

18、，

19、OQ

20、，再求

21、OP

22、·

23、OQ

24、的值．[证明]　设M(2cosφ，sinφ)，φ为参数，B1(0，－1)，B2(0,1)．则MB1的方程：y＋1＝·x，令y＝0，则x＝，即

25、OP

26、＝.MB2的方程：y－1＝x，令y＝0，则x＝.∴

27、OQ

28、＝.∴

29、OP

30、·

31、OQ

32、＝×＝4.即

33、OP

34、·

35、OQ

36、＝4为定值．利用参数方程证明定值(或恒成立)问题，首先是用参数把要证明的定值(或恒成立的式子)表示出来，然后利用条件消去参数，

37、得到一个与参数无关的定值即可．4．曲线(a＞b＞0)上一点M与两焦点F1、F2所成角为∠F1MF2＝α.求证：△F1MF2的面积为b2tan.证明：∵M在椭圆上，∴由椭圆的定义，得：

38、MF1

39、＋

40、MF2

41、＝2a，两边平方，得

42、MF1

43、2＋

44、MF2

45、2＋2

46、MF1

47、·

48、MF2

49、＝4a2.在△F1MF2中，由余弦定理，得

50、MF1

51、2＋

52、MF2

53、2－2

54、MF1

55、

56、MF2

57、cosα＝

58、F1F2

59、2＝4c2.由两式，得

60、MF1

61、

62、MF2

63、＝.故S△F1MF2＝

64、MF1

65、

66、MF2

67、sinα＝b2tan.　　　　　　　　　　　　一、选

68、择题1．椭圆(θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ＝(　　)A．π　　　　　　　　　　B.C．2πD.π解析：∵点(－a,0)中x＝－a，∴－a＝acosθ，∴cosθ＝－1，∴θ＝π.答案：A2．把椭圆的普通方程9x2＋4y2＝36化为参数方程是(　　)A.(φ为参数)B.(φ为参数)C