高中数学 第二章 参数方程 2_3_1 椭圆曲线的参数方程学案 新人教b版选修4-4

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1、2．3.1　椭圆的参数方程[读教材·填要点]椭圆的参数方程中心在原点，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的参数方程是,0≤t≤2π.中心在M0(x0，y0)的椭圆＋＝1的参数方程是0≤t≤2π.[小问题·大思维]1．中心在原点，焦点在y轴上的椭圆＋＝1的参数方程是什么？提示：由得即参数方程为(0≤φ≤2π)．2．圆的参数方程中参数θ的意义与椭圆的参数方程中参数φ的意义相同吗？提示：圆的参数方程(0≤θ≤2π)中的参数θ是动点M(x，y)的旋转角，但在椭圆的参数方程(0≤φ≤2π)中的φ不是动点M(x，y)的旋转角，它是点M所对应的圆的半径OA＝a(或OB＝b)的旋转角，称为离心角，不是OM的旋转角

2、．利用椭圆的参数方程求最值[例1]　已知椭圆＋＝1有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积．[思路点拨]　本题考查椭圆的参数方程的求法及应用．解答此题需要设出A非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。点的坐标，然后借助椭圆的对称性即可知B，C，D的坐标，从而求出矩形的面积的表达式．[精解详析]　∵椭圆方程为＋＝1，∴可设A点的坐标为(10cosα，8sinα)，则

3、AD

4、＝20

5、cosα

6、，

7、AB

8、＝16

9、sinα

10、.∴S矩形＝

11、AB

12、·

13、AD

14、＝20×16

15、sinα

16、·cosα

17、＝160

18、sin2α

19、.∵

20、sin2α

21、≤1，∴矩形ABCD的最大面积为160.利用椭圆的参数方程求函数(或代数式)最值的一般步骤为：(1)求出椭圆的参数方程；(2)利用椭圆中的参数表示已知函数(或代数式)；(3)借助三角函数的知识求最值．1．已知实数x，y满足＋＝1，求目标函数z＝x－2φ的最大值与最小值．解：椭圆＋＝1的参数方程为0≤φ≤2π.代入目标函数得z＝5cosφ－8sinφ＝cos(φ＋φ0)＝cos(φ＋φ0).所以zmin＝－，zmax＝.利用椭圆的参数方程求轨迹方程[例2]　由椭圆＋＝1上的点M向x轴作垂线，交x轴于点N，设P是MN的中点，求点P的轨迹方程

22、．[思路点拨]　本题考查椭圆的参数方程及轨迹方程的求法．解答此题需要先求出椭圆的参数方程，即M点的坐标，然后利用中点坐标公式表示出P的坐标即可求得轨迹．非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。[精解详析]　椭圆＋＝1的参数方程为(0≤θ≤2π)，∴设M(2cosθ，3sinθ)，P(x，y)，∴消去θ，得＋＝1，表示中心在原点，焦点在x轴上的椭圆．利用椭圆的参数方程求轨迹，其实质是用θ表示点的坐标，再利用sin2θ＋cos2θ＝1进行消参．本题的解决方法体现了椭圆的参数方程

23、对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．2．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点．(1)若椭圆C上的点A到F1，F2的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程．解：(1)由椭圆上点A到F1，F2的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2.又点A在椭圆上，所以＋＝1，得b2＝3，于是c2＝a2－b2＝1，所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)．(2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cosθ，sinθ)，线段F1P的中点坐标为(x，y)，则x＝，y＝，

24、所以x＋＝cosθ，＝sinθ.消去θ，得(x＋)2＋＝1.利用椭圆的参数方程证明等式或定值问题非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。[例3]　已知椭圆＋y2＝1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1，B2的连线分别交x轴于P，Q两点，求证：

25、OP

26、·

27、OQ

28、为定值．[思路点拨]　本题考查椭圆的参数方程的求法及应用．解答本题需要先确定B1，B2两点的坐标，并用椭圆的参数方程表示出M点的坐标，然后用参数表示出

29、OP

30、·

31、OQ

32、即可．[精解详析]　设M(2cosφ，sin

33、φ)(0≤φ≤2π)，B1(0，－1)，B2(0,1)，则MB1的方程：y＋1＝·x.令y＝0，则x＝，即

34、OP

35、＝.MB2的方程：y－1＝x，∴

36、OQ

37、＝.∴

38、OP

39、·

40、OQ

41、＝×＝4.即

42、OP

43、·

44、OQ

45、＝4为定值．(1)利用椭圆的参数方程可把几何问题转化为三角问题，便于计算或证明．(2)利用参数方程解决此类问题时，要注意参数的取值范围．3．求证：椭圆(a>b>0,0≤θ≤2π)上一点M与其左焦点F的距离的最大值为a＋c(其中c