2017-2018学年高中数学第二章参数方程一1参数方程的概念教学案新人教a版选修4-4

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1、1.参数方程的概念［对应学生用书P15］1.参数方程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标"y都是某个变数十(“，0,…)的函数:x=ft“①，并且对于每一个广的允许值，方程组①所确定的点匕，y)都在这条曲线［y=gt上，那么方稈组①就叫这条曲线的参数方程,方叫做参数,相对于参数方程而言，直接给出坐标间关系的方程叫普通方程.2.参数的意义参数是联系变数从y的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数.看点一［例1］参数方程表示的曲线上的点己知曲线C的参数方程是x=3t、尸2#+1&为参数).⑴判断点M(0,1)，腿(5,4)与曲线Q的位置关系.(

2、2)已知点必(6,白)在曲线C上，求仪的值.［思路点拨］由参数方程的概念，只需判断对应于点的参数是否存在即可，若存在，说明点在曲线上，否则不在曲线上.［解］(1)把点必的坐标(0,1)代入方程组，得:0=3&1=2产+1・解得：co.J点册在曲线C上.同理：可知点腿不在曲线Q上.(2)・••点廳(6,目)在曲线C上,6=3&日=2#+1.解得：t=2,日=9..•・日=9.［方法・规律•小结］、参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是一致的.,1X—t+~f1.已知点財（2,—2）在曲线Gt&为参数）上，则其对应的参数r的值丿=

3、_2为•解析：由方+*=2知t=l.答案：1卜=1+2上，2.已知某条曲线0的参数方程为2（其中上为参数，臼ER）•点曲5,4）在［y=at该曲线上，求常数解：•・•点J/（5,4）在曲线C上，J5=l+2t,八4=异，・"的值为1.t=2,解得:鳥.求曲线的参数方程［例2］如图，△加沪是等腰直角三角形，Z〃是直角，腰长为日,顶点从〃分别在x轴、y轴上滑动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程.［思路点拨］此类问题关键是参数的选取.本例中由于久〃的滑动而引起点戶的运动,故可以％的长为参数，或以角为参数，不妨取〃戶与X轴止向夹角为参数来求解.［解］法一：设“点的坐标为（从y）＞过"点作

4、x轴的垂线交x轴于Q如图所示，则取0B=t,t为参数（0

5、BQ—?.・••点戶在第一象限的轨迹的参数方程为

6、x=t+yja—Z2,ly=r，(0

7、是轨迹上任意一点的坐标.画图时要注意根据儿何条件选择点的位置，以利于发现变量Z间的关系.第二步，选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标川y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是必y的值可以由参数唯一确定.例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数.此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数.第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略.3.设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度rad/s,试以时间十为参数，建立质

8、点运动轨迹的参数方程.解：如图，运动开始时质点位于点/处，此时f=0,对应时刻仁由图可知：ji又心和x=2cos0,.y=2sin〃，兀x=2cost7；60故参数方程为：sjil7=2sin60[对应学生用书P16]一、选择题x=e+aJ[y=o1.下列方程可以作为x轴的参数方程是（）x=0y=3r+lx=M+D.Lr=0%=l+sin&y=0解析：X轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.答案：D2.若点/丿（4,刃在曲线

9、2.尸2比A.4&为参数）上，则日等于（）B.4迈B.x=2ty=tx=2t[y=-tx=2ty=t4=8解析：根据题意，将点"坐标代入曲线方程中

10、得＜2.a=2y[t答案：Bx=sin0,1.在方程_（“为参数）所表示的曲线上的一点的坐标为（）hy=cos2&A.(2,-7)D.(1,0)解析：将点的坐标代入参数方程，若能求出“则点在曲线上，经检验，知C满足条件.答案：C4・由方程/+/-4tx-2fy+3^2-4=0（t为参数）所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为（）x=—2tB.'y=tX=—2t[y=-t解析：设匕，y）为所求轨迹上任一点.由F+y—Atx—2ty+^?—4=0得：（x—2f）2+（y—方）'=4+2产