线性系统理论思路

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1、作者：大地知心交流邮箱:278742825@qq.com关键词：线性系统理论；状态空间方程；系统的能控性；系统的能观测性；系统的子空间分解；系统的最小实现；系统的极点配置；系统极点的通常要求；PS：小弟真心求成都数字信号处理方面的实习工作（2013年7月研二开始，想找个信号处理方面的工作），求各位大侠帮忙，具体情况如下：小弟不才，现在是电信科学技术研究院2012届在读研究生，目前在北京航空大学上研究生的理论课程，明年将回成都帮导师做项目，但小弟的导师实在是有点抠门儿，研发的钱都不预支，而且什么都要发票才能报，那些不超过200块钱的人家卖家跟本没有发票啊

2、，所以小弟经常是垫钱，没办法，而且导师给的项目也不是自己喜欢的信号处理，小弟现在有女朋友，女朋友工资也不高，真心也不想用父母的钱了，当然更不能靠女朋友养。所以希望在成都有数字信号处理尤其是数字信号处理与通信结合方面实习机会的前辈大侠们能帮小弟引荐一下，小弟感激不尽。在研一（2012年9月至2013年6月）期间，我在北航选的课都是与信号处理有关的，而且都是认真学的，专业具体有以下这些：秋季课程：《随机过程理论》《线性系统基础理论》春季课程：《数字信号处理》《DSP体系结构》《时间序列与谱估计》《时间——频率分析》因为在电信科学技术院（大唐集团）学习，通信

3、方面的课程自然少不了，这些通信课程都是在电信科学技术院上，具体有：《LTE》与4G有关《无线通信技术》《CDMA》《现代通信技术》下面是我总结的线性系统理论这门课的思路,由于水平有限，还望大家不吝赐教。在本科阶段或者经典控制理论中，对系统性能，特别是稳定性的分析，采用的是在S域建立系统传递函数的方法来进行系统性能的分析。这种方法描述了控制系统输入输出之间的端口关系，是系统的外部描述，当然，传递函数也可表述系统的部分内部结构，如系统的零点，极点。但是毕竟是基于端口关系，传递函数还是只能描述端口之间的等价关系，即第统的输入与输出信号之间的等价关系，不能对系

4、统内部结构与端口信号之间的关系作完全描述。而在线性系统理论中，采用了一种新模型，即状态空间方程模型，分析域为时域。虽然系统可能只是单输入单输出，但不代表其内部只有一个状态变量，很多情况下是很多状态变量的，所以状态空间方程性然是矩阵模型，状态空间方程由四个矩阵确定，分别为A矩阵,B矩阵,C矩阵,D矩阵，四个矩阵的含义分别为：A矩阵：表示系统内部各状态变量之间的关系；B矩阵：表示输入对每个状态变量之间的关系；C矩阵：表示输出与每个状态变量之间的关系；D矩阵：表示输入对输出的真接传递关第，也称前馈矩阵。状态空间方程为：注意，式中的x,u,y皆为列向量。将系统

5、转化为矩阵形式其实最大的好处之一就是方便在计算机上运用矩阵理论进行处理。我们知道，常微分方程也是对线性系统的描述，所以已知一个系统的常微分方程是可以将其转化为状态空间方程的，而且我们往往是能直接通过系统的常微分方和将其转化为能控标准型的。同理，传递函数也能转化为状态空间方程。当然，系统结构图也可以转化为状态空间方程。这些转化的方法任何一本系统理论的书上都是有的。有了状态空间方程后，为了我们方便分析，一般情况下我们会对这个状态空间方程进行等价线性变换，变换的目的是把状态空间方程化为我们定义好的标准型，这些标准型包括对角线标准型（当系统矩阵A的特征值没有重

6、根时），约当标准形（当系统矩阵A的特征值有根时），模态标准型（当系统矩阵A的特征值出现共轭复数时）。对于状态空间方程后，我们若单考虑这部分（没有输入，此时系统为自治系统，即齐次系统），是可以求出解的，求出的解称为状态转移矩阵，有了状态转移矩阵，任给一个初始状态向量，这个向量与状态转移矩阵相乘，便可以得到任意时刻的状态。值得注意的是对于定常线性系统，这个解就是矩阵指数函数。当然若是非齐次的，即有输入矩阵B(t)，还是可以解出通解的，通解的表达式为：系统在时刻的状态解为：当然也有输出解为：通过这个通解的表达式，如果求出了状态转移矩阵，并且还知道输入u(t)

7、,显然，系统的响应是可以算出的，而且很容易算出，最常见的是零输入响应与零状态响应。有了状态空间方程，实际上就是有了线性系统的结构。结构分析中很重要的两点性能是系统的能控型与能观察型。能控型是指输入u(t)对于状态x(t)的控制能力，能观察性是指输出方程y(t)对状态x(t)的反映能力。为了讨论系统的能控型与能观察性线性系统理论给出了很多判断方法，其中最重要的是能控矩阵和能观察矩阵，通过判断这两个矩阵的秩我们可以判断系统是否能控，是否能观察。如果系统是不能控或不能观察的，那么我们可以对其进行子空间分解，这个子空间是既能控也能进行观察的。进一步，若我们已经

8、知道一个系统的输入输出特性，即已知传递函数，我们便可以着手构建这个系统，当然为了节约成本，我们