23034_2000第1屆全澳校

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1、第一屆全澳校際初中數學比賽題解比賽日期﹕2000年4月29日比賽時間﹕2小時 填空題：1.從1,2,3,5,6,7,12,13,15這九個數中，任取兩個數，一為分母，另一個為分子，得到一個分數。問可以得到的不同真分數(不是帶分數)共有多少個？解：不妨先計算有多少個小於1的分數。假設在未約簡前，暫時把它們當作不同，可以列成一個三角形分母分子 小於1的分數 (未約簡的)數目已出現的 可約簡分數2113122512336123542/6、3/671235651212356762/12、3/12、6/121312356712715123567

2、121383/15、5/15、6/15、12/15合共1+2+...+8 =(1+8)x8/2=36已知由1至9這九個數中，有部份是合成數，所以有部份的分數是可以約簡的，其中只有5/15=2/6=1/3，6/12=3/6=1/2，3/15=1/5，6/15=2/5，2/12=1/6。但在36個分數中，有(12-5)個分數可以約簡，因此小於1的不同(即不相等)真分數的總數是36-(12-5)=29個。 2.A、B分別為兩個實數，已知乘積AB比A大，差A-B比B大。有下列命題：i.A、B同時小於1；ii.A、B的正負號各不同；iii.A、

3、B皆不為零。問正確的命題有多少？解：將AB>A轉成A(B-1)>0，及A-B>B轉成A>2B。o取A=5、B=2，它們滿足題目的所有條件，但命題(i)不成立。相反地，取A=B=-1，，它們滿足題目的所有條件，這時命題(i)便成立。換句話這個命題在沒有更多的條件下可能是錯誤的，也可能是正確的。o取A=B=-1，它滿足題目的所有條件，但這時命題(ii)便不成立。所以這個命題不一定是正確。o現用反證法來證明：A、B皆不為零。§若B=0：則由第一個條件，得0=AB>A，所以A是負數；然後代入第二倍個條件，得0>A>2B。這與B=0的假設有矛盾

4、。§若A=0，則由第一條件得0=AB>A=0，這也是不可能的。所以A、B皆不為零。 結論：三個命題中只有最後一個才是正確的。 2.試在每個方格中填上一個0-9的一個數字，使得分母最小且符合以下的大小次序。 1 49>　□2 35□□> 1 50。 答案：72/3529。解答：1/50=70/3500。所以試寫分子為72；否則(兩位數的)分子大於72時，它只能是82、92，但此時交叉相乘，得35□□>49x82=4018或>49x92=4508，這是不可能的。交叉相乘得(72)(50)=3600。所以對第二個不等號，分母可以選為大於35

5、00。現在對第一、第二個分數交叉相乘，得35□□>49x72=3528。所以選取分母為3529。註：類似的問題(除了要求分母最小外)也在同日的小學數學比賽中出現。 3.已知m、n為實數，及不等式mx2+m2x+n>0的所有實解為10其中k是個未定的實數。比較係數後，有-k2=m，3k2=m2，-2k=n。因此m=m2/m=3k2/(-k2)=-3，即k=√3。所以n=-2k=-2√3。 4.問100!=1x2x3x.....x99x100從個位開始有多少個連續

6、的零？解：已知10=2x5，所以100!=2ax3bx5cx....為其素數分解。由於從1到100的各整數中，2的因子比5的因子多(稍後會看到)，所以只需要考慮5的因子數目：5、10、15、25=52、30、35、40、45、50=2x52、55、60、65、70、75=3x52、80、85、90、95、100=4x52。總共有1+1+1+2+1+1+1+1+2+1+1+1+1+2+1+1+1+1+2=23。若保持5的冪，只將5改寫為2，得出的數各不相同，而且也在100內。將它們相乘後得到的積必是1023的倍數。因為每個數皆有2x5=

7、10的因子。但是其他的數由於沒有5的倍數，所以它們的乘積不能是5的倍數，特別地不是10的倍數。因此答案是23。註：其實這問題是和5進制有關，試想想在5進制有多少個零。一般的公式也是類似，有興趣的讀者可試行求出這個公式。 1.試計算以下兩個循環小數之差，並以小數表示：   .   .      .  .0.1234-0.123答案：    .    .      .  .     .                    .      .                     .      .                    .

8、 0.1234-0.123=0.123412341234-0.123123123123=0.000289218111。2.將1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數分別填在(下圖)的三角形的圓圈裡，每個圓一個數字，而且