23035_2001第2屆全澳校.doc

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1、第二屆全澳校際初中數學比賽題解比賽日期﹕2001年5月5日比賽時間﹕2小時本文可在以下網頁下載：題目：http://www.sftw.umac.mo/~fstitl/junior/2001-junior-test.html題解：http://www.sftw.umac.mo/~fstitl/junior/2001-junior-test-sol.html另外一個由馬俊彬老師提供的精彩題解(*.doc，合F4紙)，多常多謝馬老師。1.問：方程　x2

2、x

3、-5x

4、x

5、+2x=0有多少個實根，其中

6、x

7、代表x的絕對值？解：經代入，知道x=0

8、是方程的一個實根。然後分別討論x的正負號：o當x>0時：

9、x

10、=x，則原方程0=x2

11、x

12、-5x　

13、x

14、+2x=x3-5x2+2x=x(x2-5x+2)。用二次方程求根公式，得知x2-5x+2=0只有兩個正實根(5+[52-4(2)]1/2)/2及(5-[52-4(2)]1/2)/2。o當x<0時：

15、x

16、=-x，則原方程0=x2

17、x

18、-5x　

19、x

20、+2x=-x3+5x2+2x=-x(x2-5x-2)。用二次方程求根公式，得知x2-5x-2=0只有一個負實根(5-[52-4(-2)]1/2)/2答案：方程有4個實根。　2.將實數改寫成三

21、個正整數的(正)二次根之(相等)和。試求這三個整數。解：問題要求整數x、y、z滿足方程=。兩式平方後，得13+2√5+2√7+2√35=x+y+z+2√(xy)+2√(yz)+2√(xz)。試求方程組的整數解：x+y+z=13、xy=5、yz=7、35=xz。經嘗試後，得x=5、y=1、z=7。　　3.甲、乙兩隊各出5名隊員按事先排好的順序出場參加象棋擂台賽。雙方先由1號隊員比賽，負者被淘汰，勝者再與負方2號隊員比賽，....，直至有一方隊員全被淘汰為止，另一方獲得勝利。各個隊員的勝負排列便形成一種比賽過程。已知各場比賽沒有和局，問所

22、有可能的比賽過程有多少種？解：由於賽制的安排，最先的一隊得到5次勝行便算勝出這次象棋擂台賽。即使有部分隊員仍未出場，為此不妨看作未出場的隊員也輸了。在這假設下，絕對不影響得勝的一隊，而好處就是可以得到完整的十局結果：五勝、五負。所謂一種比賽過程，就是如何安排五勝五負。見下圖：　　　如此得知，在十個空格內放置一個“勝”，有10種方法，然後在餘下的九個空格放置一個“勝”，也有9種方法，...，直到放置最後一個(即第五個)“勝”於餘下的6個空格，有6種方法。表面上，共有10x9x8x7x6種方法。但小心這五個“勝”字，它們其實相同，但以上的

23、數法著眼於它們所在的位置。但有可能兩個(先後？放次序不同的)方法，但最終的五個“勝”字位置一樣。例如勝1勝2　　　　　　　　勝2勝1　　　　　　　　1.其中勝1、勝2依次分別代表放下的第一個、第二個“勝”字。所以基於這樣的重覆，而這樣的重覆就是安排：勝1勝2勝3勝4勝5的不同寫法，共有5x4x3x2x1種。於是最終的五個“勝”字位置一樣，在開始的數法，每種多數了5x4x3x2x1次。設S為放置五個“勝”字於十個空格內的方法總數，因此有Sx(5x4x3x2x1)=10x9x8x7x6。因此放置五個“勝”字於十個空格內的方法總數=(10x

24、9x8x7x6)/(5x4x3x2x1)=9x4x7=252種比賽過程。　註：以上這個計算是高中數學常用的組合數nCr=(n!)/[(r)!(n-r)!]=n(n-1)...(n-r+1)/[(1)(2)....(r)]，其中n!=(1)(2)....(n)。　2.設，，及對於n>1定義。試求最小的正整數n使得xn=27。解：為了排版的方便，選用以3做底的對數函數log3(x)。設c=x1，log3x2=clog(c)，log3(xn+1)=clog3(xn)。log3(x4)=clog3(x3)=c2log3(x2)=c3log3(

25、x1)=3/3=1。x4=3。log3(x7)=clog3(x6)=c2log3(x5)=c3log3(x4)=3，所以x7=33=27。註：雖然在這裡有對數函數，但其實這是不必要的，可以用簡單的代數恒等式：(xa)b=xab。　1.試找出所有正整數n使得1+2+3+.....+n的和是由同一個數字組成的三位數。解：　已知公式1+2+3+.....+n=n(n+1)/2，即要解方程n(n+1)/2=111、222、.....、999。o用簡單的寫法，有n(n+1)=2x3x37xk，其中k=1,2,...,9。o如果n+1=37，n=

26、36，得k=6。o其他的k值，n也沒有整數解。　　2.A、B、C、D四個足球隊進行循環比賽(即任意兩隊將要作賽)，賽了若干場後，A、B、C三隊的比賽情況如下：場數勝負平入球失球A隊202036B隊210143C隊3201