分数维布朗运动与金融衍生品定价精选

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1、分数维布朗运动与金融衍生品定价【摘要】本文介绍分数维布朗运动的基本性质，建立在分数维布朗运动基础上的随机积分，以及股票价格由分数维布朗运动驱动情况下的欧式期权定价问题。【关键词】分数维布朗运动、随机积分、Wick积，欧式期权经典的金融市场衍生品定价理论建立在标准布朗运动和Itô随机积分的基础上，已经建立了较为完善的理论体系，得到了大量具有理论和实际价值的结果。标准布朗运动的典型特征是具有独立增量，对应于Hurst指数等于0.5；但是实际数据的实证结果显示，股票价格的变动不具备独立增量特性，实际中股票价格的Hurst指数常常大于0.5。为使理论更加贴近实际结果，有必要

2、以分数维布朗运动为出发点，研究金融市场衍生品定价问题。一、分数维布朗运动定义及性质定义1.1，一个Hurst指数为H的分数维布朗运动（fBM）为一个连续的中心化的高斯过程，且满足如下条件：.特别的，当H=1/2时，是标准布朗运动。定义1.1*（fBM的积分表示）为标准布朗运动，为gamma函数，则是一个Hurst指数为H的分数维布朗运动。分数维布朗运动的统计性质：1.，且，.2.与同分布.3.是高斯过程，且.4.的轨道连续。5.H>0.5时，与正相关；H=0.5时，与独立；H<0.5时，与负相关。进一步，令，则fBM路径的图示H=0.1，fBM的路径（具有负相关性）

3、H=0.5，fBM（即标准布朗运动）的路径H=0.8，fBM的路径（具有正相关性）H=0.1,H=0.5,H=0.8，fBM的路径二、分数维布朗运动的随机积分和相关结果依照不同的定义方式，分数维布朗运动上可以不同的随机积分，不同的积分定义适用于不同的情况，对同一问题使用不同的积分定义，得到的结果也不尽相同。分数维布朗运动的随机积分分别有Wiener型积分、路径（Pathwise）积分和WickItôSkorohod型积分（简称Wick型积分）等，金融数学中广泛用到的是WickItôSkorohod型积分，该积分可以看做是经典Itô积分在fBM上的推广。本文主要介绍W

4、ickItôSkorohod型积分1.Wick积与WickItôSkorohod型积分令是一个简单函数，关于分数维布朗运动的随机积分定义为是一个确定性函数，存在一列简单函数收敛于，关于分数维布朗运动的随机积分定义为Gripenberg和Norros（1996）得到如下结果：（*）定义一个二元函数，在确定型函数构成的空间上定义一个子空间，记为。上定义范数，内积，可以证明，在上述定义下构成一个Hilbert空间。于是（*）可写成Gripenberg和Norros（1996）得到如下结果：是一个均值为0，方差为的正态随机变量。下面引入概率空间，p可积的（）随机变量空间记为

5、。Duncan（2000）证明了对于，随机变量可以被确定性函数的Wick指数的线性组合任意精度逼近，Wick指数的定义如下Wick指数有如下性质：1.，因为是一个均值为0，方差为的正态随机变量。2..3.，特别的.Duncan（2000）借助Wick指数隐式的定义了Wick积“”：Wick积具有如下性质：1..2..3..4..5..6..其中是的Malliavin微分。Wick型Riemann和记为，，为[0,T]上的划分。随机过程关于WickItôSkorohod型积分定义为进一步得到第二个式子称为“分数维的Itô等距”。分数维Stratonovich型积分定义

6、为Duncan（2000）证明了Wick积分和Stratonovich积分之间具有如下关系：，其中是的Malliavin微分。关于有如下结果1..2..3..（为标准布朗运动）.1.分数维形式的Itô公式和Girsanov定理分数维形式的Itô公式令F,G是满足一定条件的随机过程，对于随机过程，函数有如下等式成立特别的时，分数维形式Girsanov定理首先定义算子，是一个确定性函数其中在测度下随机过程Y具有如下表示：存在测度，使得Y在测度下具有如下表示：其中是测度下的Hurst指数为H的fBM。关于的Radon-Nikodym导数为三、分数维布朗运动在衍生品定价中的

7、应用分数维布朗运动情况下的套利分析1.使用路径积分现有两项资产，无风险资产和风险资产，不妨设；构造投资组合，，称为“自融资的”，如果下面令于是根据路径积分的定义可计算出因此是一个“自融资”的投资策略，但是，始终可以保持正的收益，所以市场存在套利。2.使用Wick型积分现有两项资产，无风险资产和风险资产，由Wick型分定义可以计算出构造投资组合，，称为“自融资的”，如果下面令Bender（2003a）证明了，和使用路径积分一样，是一个“自融资”的投资策略，但是，始终可以保持正的收益，市场存在套利。1.将资产组合推广成Wick型沿用上面的记号，构造新的资产组合，称为