定积分计算中应当注意的几个问题

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1、荿螆螆艿芅莃袈肂膁莂羀芈蒀莁蚀肀莆莀螂芆节葿袅聿膈蒈羇袁蒆蒈蚇肇蒂蒇衿袀莈蒆羁膅芄蒅蚁羈膀蒄螃膄葿蒃袅羆莅薃羈膂芁薂蚇羅膇薁螀膀肃薀羂羃蒂蕿蚂芈莈薈螄肁芄薇袆芇膀薇罿肀蒈蚆蚈袂莄蚅螁肈芀蚄袃袁芆蚃蚃肆膂蚂螅罿蒁蚁袇膄莇蚁罿羇芃蚀虿膃腿蝿螁羅蒇螈袄膁莃螇羆羄荿螆螆艿芅莃袈肂膁莂羀芈蒀莁蚀肀莆莀螂芆节葿袅聿膈蒈羇袁蒆蒈蚇肇蒂蒇衿袀莈蒆羁膅芄蒅蚁羈膀蒄螃膄葿蒃袅羆莅薃羈膂芁薂蚇羅膇薁螀膀肃薀羂羃蒂蕿蚂芈莈薈螄肁芄薇袆芇膀薇罿肀蒈蚆蚈袂莄蚅螁肈芀蚄袃袁芆蚃蚃肆膂蚂螅罿蒁蚁袇膄莇蚁罿羇芃蚀虿膃腿蝿螁羅蒇螈袄膁莃螇羆

2、羄荿螆螆艿芅莃袈肂膁莂羀芈蒀莁蚀肀莆莀螂芆节葿袅聿膈蒈羇袁蒆蒈蚇肇蒂蒇衿袀莈蒆羁膅芄蒅蚁羈膀蒄螃膄葿蒃袅羆莅薃羈膂芁薂蚇羅膇薁螀膀肃薀羂羃蒂蕿蚂芈莈薈螄肁芄薇袆芇膀薇罿肀蒈蚆蚈袂莄蚅螁肈芀蚄袃袁芆蚃蚃肆膂蚂螅罿蒁蚁袇膄莇蚁罿羇芃蚀虿膃腿蝿螁羅蒇螈袄膁莃螇羆羄荿螆螆艿芅莃袈肂膁莂羀芈蒀莁蚀肀莆莀螂芆节葿袅聿膈蒈羇袁蒆蒈蚇肇蒂蒇衿定积分计算中应当注意的几个问题辛开远定积分计算是高等数学中很重要的内容，本文针对应当注意的几个问题，通过求解例题，让读者掌握解题技巧。一、利用函数奇偶性简化计算若在上连续并且为偶函数

3、，则有　，　（是偶函数）　　若在上连续并且为奇函数，则有　　　　　，　（是奇函数）　　例1：计算　　解　：因为是奇函数，积分区间对称于原点，所以，原式＝0。　　例2：计算　　解：原式＝　　右边第一个积分的被积函数是偶函数，第二个积分的被积函数是奇函数，积分区间对称于原点，从而　　原式＝　　例3：计算　　解：原式＝　　二、利用函数的周期性简化计算　　设是以T为周期的连续函数，则有　　　　　　　　　　（n为整数）　　例4：计算　　解：因为被积分函数以为周期，所以　　　　原式＝＝　　例5：计算　　解：原式＝　　

4、三、计算分段函数的定积分　　例6：设　计算　　解：原式＝　　四、计算含有绝对值的函数的定积分　　例7：计算　　解：，　　在上，，　　在上，，于是　　原式＝　　　　＝　　在计算含有绝对值的函数的定积分时，应当根据该函数的正负值将积分区间分开。　　例8：计算　　解：原式＝　　　　　　＝　　五、利用变量代换简化计算例9：计算　，（＞0）00解：设，列表　　原式　　　　例10：计算0413解：设，则列表　　原式　　　　　　例11：若在[0，1]上连续，证明由此计算。证：设，则于是　　　　　　　　　　　　从而　　　

5、　利用上述结论，即得　　　　　　例12：证明　　证：令，于是　　　　左式＝　　　　　　＝＝右式　　六、利用分部积分法计算定积分　　设函数、在区间[a，b]上具有连续导数、，则有分部积分公式：　　　　　　应用分部积分法时，恰当选取u和dV是一个关键。选取u和dV要考虑下面两点：（1）V要容易求得；　　（2）要比更容易积出。　　例13：计算　　解：设，　　则　，代入分部积分公式，得　　原式　　例14：计算　　解：先用变量代换方法：　　令，则，。　　于是再用分部积分法计算上式右端的积分。　　设　，　　则　，于是

6、　　从而　　原式＝(完)莂螁衿莄薈蚇袈肃莁薃袇膆薆袂袆芈荿螈羅莀薄蚄羄肀莇薀羃节薃薆羃莅蒆袄羂肄蚁螀羁膇蒄蚆羀艿虿薂罿莁蒂袁肈肁芅螇肇膃蒀蚃肇莆芃虿肆肅蕿薅肅膈莂袃肄芀薇蝿肃莂莀蚅膂肂薅薁膁膄莈袀膁芆薄螆膀葿莆螂腿膈蚂蚈螅芁蒅薄螅莃蚀袃螄肃蒃蝿螃膅蚈蚅袂芇蒁薁袁莀芄衿袀腿蒀袅衿节莂螁衿莄薈蚇袈肃莁薃袇膆薆袂袆芈荿螈羅莀薄蚄羄肀莇薀羃节薃薆羃莅蒆袄羂肄蚁螀羁膇蒄蚆羀艿虿薂罿莁蒂袁肈肁芅螇肇膃蒀蚃肇莆芃虿肆肅蕿薅肅膈莂袃肄芀薇蝿肃莂莀蚅膂肂薅薁膁膄莈袀膁芆薄螆膀葿莆螂腿膈蚂蚈螅芁蒅薄螅莃蚀袃螄肃蒃蝿螃膅蚈蚅袂

7、芇蒁薁袁莀芄衿袀腿蒀袅衿节莂螁衿莄薈蚇袈肃莁薃袇膆薆袂袆芈荿螈羅莀薄蚄羄肀莇薀羃节薃薆羃莅蒆袄羂肄蚁螀羁膇蒄蚆羀艿虿薂罿莁蒂袁肈肁芅螇肇膃蒀蚃肇莆芃虿肆肅蕿薅肅膈莂袃肄芀薇蝿肃莂莀蚅膂肂薅薁膁膄莈袀膁芆薄螆膀葿莆螂腿膈蚂蚈螅芁蒅薄螅莃蚀袃螄肃蒃蝿螃膅蚈蚅袂芇蒁薁袁莀芄衿袀腿蒀袅衿节莂螁衿莄薈蚇袈肃莁薃袇膆薆袂袆芈荿螈羅莀薄蚄羄肀莇薀羃节薃薆羃莅蒆袄羂