[理学]复变函数期末试题

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1、《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题(一)判断题(20分)1.若f(z)在z0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z0解析.()2.有界整函数必在整个复平面为常数.()3.若收敛,则与都收敛.()4.若f(z)在区域D内解析,且,则(常数).()5.若函数f(z)在z0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.()6.若z0是的m阶零点,则z0是1/的m阶极点.()7.若存在且有限,则z0是函数f(z)的可去奇点.()8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数,则.()9.若f(z)在区域D内解析

2、,则对D内任一简单闭曲线C.()10.若函数f(z)在区域D内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D内恒等于常数.()二.填空题(20分)__________.(为自然数)2._________.3.函数的周期为___________.4.设,则的孤立奇点有__________.5.幂级数的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.7.若,则______________.8.________,其中n为自然数.9.的孤立奇点为________.

3、10.若是的极点,则.三.计算题(40分):471.设,求在内的罗朗展式.2.3.设,其中,试求4.求复数的实部与虚部.四.证明题.(20分)1.函数在区域内解析.证明:如果在内为常数,那么它在内为常数.2.试证:在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线上岸取正值的那支在的值.《复变函数》考试试题(二)判断题.(20分)1.若函数在D内连续,则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续.()2.cosz与sinz在复平面内有界.()3.若函数f(z)在z0解析,则f(z)在z0连续.()4.有

4、界整函数必为常数.()5.如z0是函数f(z)的本性奇点,则一定不存在.()6.若函数f(z)在z0可导,则f(z)在z0解析.()7.若f(z)在区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C.()8.若数列收敛,则与都收敛.()9.若f(z)在区域D内解析,则

5、f(z)

6、也在D内解析.()10.存在一个在零点解析的函数f(z)使且.()二.填空题.(20分)1.设,则2.设,则________.473._________.(为自然数)4.幂级数的收敛半径为__________.5.若z0是f(z)的m阶零点

7、且m>0,则z0是的_____零点.6.函数ez的周期为__________.7.方程在单位圆内的零点个数为________.8.设,则的孤立奇点有_________.9.函数的不解析点之集为________.10..三.计算题.(40分)1.求函数的幂级数展开式.2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值.3.计算积分:,积分路径为(1)单位圆()的右半圆.4.求.四.证明题.(20分)1.设函数f(z)在区域D内解

8、析,试证:f(z)在D内为常数的充要条件是在D内解析.2.试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题(三)一.判断题.(20分).1.cosz与sinz的周期均为.()2.若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件,则f(z)在z0解析.()3.若函数f(z)在z0处解析,则f(z)在z0连续.()4.若数列收敛,则与都收敛.()5.若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数,则数f(z)在区域D内为常数.()6.若函数f(z)在z0解析,则f(z)在z0的某个邻域内可导.()7.如果函数

9、f(z)在上解析,且,则47.()8.若函数f(z)在z0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.()9.若z0是的m阶零点,则z0是1/的m阶极点.()10.若是的可去奇点,则.()二.填空题.(20分)1.设,则f(z)的定义域为___________.2.函数ez的周期为_________.3.若,则__________.4.___________.5._________.(为自然数)6.幂级数的收敛半径为__________.7.设,则f(z)的孤立奇点有__________.8.设,则

10、.9.若是的极点,则.10..三.计算题.(40分)1.将函数在圆环域内展为Laurent级数.2.试求幂级数的收敛半径.3.算下列积分:,其中是.4.求在

11、z

12、<1内根的个数.四.证明题.(20分)471.函数在区域内解析.证明:如果在内为常数,那么它在内为常数.2.设是一整函数,并且假定存在着一个正整数n,以及两个正数R及M,使得当时,证明是一个至多n次的多项式或一常数。《复变函数》考试试题(四)一.判断题.(20分)1.若f(z)在z

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