枚举、归纳与猜想

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1、蚅肅羈蒅螇袈莇蒄薇膃芃蒃虿羆腿蒂螁膂肅蒂袄羅莃蒁薃螇艿薀蚆羃膅蕿螈螆肁薈蒈羁肇薇蚀螄莆薆螂聿节薆袅袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆芈蚂袁衿膄蚁薁肄膀芈螃袇肆芇袅膃莅芆薅羅芁芅蚇膁膇芄螀羄肃莄袂螇莂莃薂羂芈莂蚄螅芄莁袆肀腿莀薆袃肅荿蚈聿莄莈螁袁芀莈袃肇膆蒇薂袀肂蒆蚅肅羈蒅螇袈莇蒄薇膃芃蒃虿羆腿蒂螁膂肅蒂袄羅莃蒁薃螇艿薀蚆羃膅蕿螈螆肁薈蒈羁肇薇蚀螄莆薆螂聿节薆袅袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆芈蚂袁衿膄蚁薁肄膀芈螃袇肆芇袅膃莅芆薅羅芁芅蚇膁膇芄螀羄肃莄袂螇莂莃薂羂芈莂蚄螅芄莁袆肀腿莀薆袃肅荿蚈聿莄莈螁袁芀莈袃肇膆蒇薂袀肂蒆蚅肅羈蒅螇袈莇蒄薇膃芃蒃虿羆腿

2、蒂螁膂肅蒂袄羅莃蒁薃螇艿薀蚆羃膅蕿螈螆肁薈蒈羁肇薇蚀螄莆薆螂聿节薆袅袂膈薅薄肈肄薄蚆袁莂蚃蝿肆芈蚂袁衿膄蚁薁肄膀芈螃袇肆芇袅膃莅芆薅羅芁芅蚇膁膇芄螀羄肃莄袂螇莂莃薂羂芈莂蚄螅芄莁袆肀腿莀薆袃肅荿蚈聿莄莈螁袁芀莈袃肇膆蒇薂袀肂蒆蚅肅羈蒅螇袈莇蒄薇膃芃蒃虿羆腿蒂螁膂肅蒂袄羅莃蒁薃螇艿薀蚆羃膅蕿螈螆肁第16讲枚举、归纳与猜想一、枚举法　　枚举法起源于原始的计数方法，即数数。关于这方面的例子，我们在第11讲中已介绍过，现在我们从另一角度来利用枚举法解题。当我们面临的问题存在大量的可能的答案（或中间过程），而暂时又无法用逻辑方法排除这些可能答案中

3、的大部分时，就不得不采用逐一检验这些答案的策略，也就是利用枚举法来解题。　　采用枚举法解题时，重要的是应做到既不重复又不遗漏，这就好比工厂里的质量检验员的责任是把不合格产品挑出来，不让它出厂，于是要对所有的产品逐一检验，不能有漏检产品。　　例1一个小于400的三位数，它是平方数，它的前两个数字组成的两位数还是平方数，其个位数也是一个平方数。求这个三位数。　　解：这道题共提出三个条件：　　（1）一个小于400的三位数是平方数；　　（2）这个三位数的前两位数字组成的两位数还是平方数；　　（3）这个三位数的个位数也是一个平方数。　　我们先找出

4、满足第一个条件的三位数：　　100，121，144，169，196，225，256，289，324，361。　　再考虑第二个条件，从中选出符合条件者：　　169，256，361。最后考虑第三个条件，排除不合格的256，于是找到答案是169和361。　　说明：这里我们采用了枚举与筛选并用的策略，即依据题中限定的条件，面对枚举出的情况逐步排除不符合条件的三位数，确定满足条件的三位数，从而找到问题的答案。　　例2哥德巴赫猜想是说：每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。问：168是哪两个两位数的质数之和，并且其中一个的个位数是1？　　解：1

5、68表示成两个两位质数之和，两个质数都大于68。个位是1且大于68的两位数有71，81，91，其中只有71是质数，所以一个质数是71，另一个质数是168-71=97。　　说明：解此题要求同学们记住100以内的质数。如果去掉题目中“其中一个的个位数是1”的条件，那么上述答案不变，仍是唯一的解答。　　如果取消位数的限制，那么还有　　168=5+163，168=11+157，168=17+151，…　　哥德巴赫猜想是1742年提出来的，至今已有250多年的历史了，它是数论中最有名的问题，中外许多著名的数学家都研究过，包括我国著名数学家华罗庚教

6、授。　　例3有30枚贰分硬币和8枚伍分硬币，用这些硬币不能构成的1分到1元之间的币值有多少种？　　解：注意到所有的38枚硬币的总币值恰好是100分（即1元），于是除了50分与100分外，其他98种币值可以两两配对，即　　（1，99），（2，98），（3，97），…，（49，51）。　　每一对币值中有一个可用若干枚贰分和伍分硬币构成，则另一个也可以，显然50分和100分的币值是可以构成的，因此只需要讨论币值为1分、2分、3分……49分这49种情况。　　1分和3分的币值显然不能构成。　　2分、4分、6分……48分这24种偶数币值都可以用若干

7、枚贰分硬币构成，因为贰分硬币的总数为30个。　　5分、7分、9分……49分这23种奇数币值，只需分别在4分、6分、8分……48分币值的构成方法上，用1枚伍分硬币换去两枚贰分硬币即可，比如37分币值，由于36分币值可用18枚贰分硬币构成，用1枚伍分硬币换下2枚贰分硬币，所得的硬币值即为37分。　　综合以上分析，不能用若干枚贰分和伍分硬币构成的1分到1元之间的币值只有四种，即1分、3分、97分、99分。　　例4一个两位数被7除余1，如果交换它的十位数字与个位数字的位置，所得到的两位数被7除也余1，那么这样的两位数有多少个？都是几？　　　　两

8、式相减，得9（a-b）=7（n-m）。于是7

9、9（a-b）。因为（7，9）=1，所以7

10、a-b，得到a-b=0，或a-b=7。　　（1）当a-b=0，即a=b时，在两位数11，22，33，44，55，66，