曲线与方程综合练习

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1、曲线与方程综合练习【例题精选】：例1：（1）已知点，，延长AB至C，使。求点C的坐标；（2）已知A，B求点C使；（3）已知椭圆两焦点F1，F2，离心率e=0.8。求此椭圆长轴上两顶点的坐标。分析：这道题的几个小题都是求线段上的分点的问题。第（1）小题已明确给出C点的位置，即它在AB的延长线上，且，因此，可以知道比值，代入线段的定比分点公式即可，对第（2）小题，应注意由，还不确定点C是在线段AB上，还是在线段BA的延长线上。因此，解此题时要考虑周到，不要丢解。对于第（3）小题，从题目表面还不能直接看出是求线段的定比分点问题，必须对椭圆的一些基本性质熟练掌握，应想到椭圆的

2、焦点与长轴上两顶点的关系，及离心率的意义，才能给恰当地找出长轴上顶点分线段F1F2所成的比，才能求出长轴上两顶点的坐标。解：（1）点C在AB延长线上，且，。设点C坐标为，则。点C坐标为。（2）设点若点C在线段AB上，由可得，则若点C在线段BA的延长线上，由可得，则点C坐标为或（注：点C不可能在线段AB延长线上）（3）设椭圆的长轴上两顶点A，A坐标分别为（A在延长线上，A在延长线上）由椭圆性质可知，同理，A分线段所成比。可得点A，A坐标分别为。例2：已知ABC的三顶点坐标分别为BC（1）判断ABC的形状；（2）在上求一点M使它满足。分析：对于第（1）小题，要求判断三角形

3、的形状，一般方法可以从各边的长短，或各角的大小来判断。这里为了练习两点间距离公式，就从各边的长短判断即可。对第（2）小题，直接用两点间距离公式代入即可。解：（1）ABCABC为直角三角形。（2）设点M则解得点M为所求．例3：（1）ABC中AB边上一点M内分AB所成的比是3∶1，P为AC上一点，且APM的面积等于ABC面积的一半，求点P分AC所成的比；（2）在ABC中，ABC过BC边上一点P作直线l//AB且平分ABC的面积，求点P的坐标．分析：这两个小题都是线段的定比分点与三角形面积知识的综合题。第（1）小题中，由于APM与ABC有公共角A，因此可以根据三角形面积等于

4、两边及夹角的正弦乘积的一半的公式列出其面积关系，从而得出点P在AC边上的位置。第（2）小题中，由于l//AB，设l交AC边于Q，则有CPQ∽CBA，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，可以得知P点在BC边上的位置，也就可以求出点P的坐标了。解：（1）点M内分AB为3∶1，即点P分AC所成的比为2∶1．（2）∵l//AB，设l交AC于点Q，∽，设点根据线段的定比分点公式，得点为所求。说明：第（2）小题中，也可以取，根据线段的定比分点公式列式为得例4：动点P，Q坐标分别为（是参数），求有向线段PQ的长度的最大值及最小值．解:当当说明：本题从数形结合的角度出发，可以看到

5、点P在以原点为中心，半径为1的圆上，点Q在以（3，－1）为圆心，半径为1的圆上，但由于题中参数是同一个，因此点P，Q是互相有关联的，不是分别在两上圆上的任意点．因此这个题如果转化为图形去直观地求解很容易出错．例5：如果两条曲线方程是，，它们的焦点是P。证明的曲线也过点P（是任意常数）。并求经过两条曲线和3的交点的直线方程．证明：是曲线的交点，点P在方程的曲线上．设过交点的曲线方程为即当且仅当时，即时，此方程表示直线，所求直线方程为。说明：本题中方程是过与的交点的若干条曲线的方程，我们称它为过与的交点的曲线系方程。此题第2问就是利用此曲线系方程得出结果的。例6：AB是圆

6、O的直径，且为圆上一个动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点P，使，求点P的轨迹。分析：此题应该选建立适当的坐标系，然后按求曲线方程的一般方法，即设出动点坐标，列好动点所满足的条件的等式，化简等式，得到轨迹方程（要注意它的充分性及必要性），说明轨迹图形即可。解：以点O为原点，AB所在直线为x轴，建立坐标系如图．图O的方程为设点P（⊥AB于Q，则（注：设与AB垂直的直径为CD，则点P轨迹为以OC，OD为直径的两个圆。例7：已知直线与曲线交于A，B两点，P是这条直线上的点，且求当变化时，点P的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形。解：设依题意消，得①已知直线的倾斜角为45°

7、，即②化简，得即直线与曲线相交于两点，由上面的方程①，得＞0＜＜即＜＜所求轨迹方程是＜＜轨迹图形是椭圆在两条直线之间的部分及点（0，－1）。说明：综合此题时要注意曲线与方程的概念，在求出轨迹方程时，应判断轨迹上的所有点是否都满足方程，满足方程的点是否都在轨迹上，此题应注意直线与曲线是否相交，通过二次方程判别式＞0，得出的取值范围，因此轨迹图形不是整个椭圆；而是它的一部分，也就是说满足方程的点不全是轨迹上的点，因此应除去，此题中方程只代表一个点（0，－1）也是应该注意的。例8：已知曲线。求曲线C与线段AB有两个不同交点的充要条件。分析：此题求的是两曲线