卫星轨道的几点讨论①

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1、2.3.2卫星轨道的几点讨论①在大学学习期间，每一期的学报都会分发给学生阅读。学报中的文章内容学生大多是看不懂的。那些怪异的符号和公式觉得那么陌生且离我们非常遥远，当时我心想，在杂志上发表文章真是了不起的一件事。毕业后一直在努力，三年后，我的文章终于也能在学报上发表，发表文章的感觉特别好。本节部分内容2000年9月发表于《湖南城市学院学报》自然科学版，次年被《中国物理文摘》第91期引录，是在我恩师肖玉衡先生的指导下完成的，谨此表示感谢。我们根据轨道微分方程——比耐公式可推导行星的轨道运动方程②：其中，A、θ0为积分常数，k2=GM（G为万有引力常量，M为太阳质量），=常量。我

2、们的主要任务是假设在初始状态下，求出积分常数A和θ0得到应用更广泛的轨道方程。首先，我们研究的是人造地球卫星，而不是绕太阳运动的行星，故M指地球质量，为不失一般性，我们假设卫星距地面的高度为Ｈ，以初速度v0并与竖直方向成α角发射，建立极坐标（见图１），把地心作为极点，有如下初始条件（t＝０时刻物理量的值）。其中，R为地球半径，r为极径，将初始条件代入轨道微分方程并移项有：其中，，为求出A和θ0，还需要一个方程，我们对上式两边微分得：，将初始条件代入并整理有：联立上面两式可求出A和θ0，为研究问题的方便，我们令恒为近地面的重力加速度，有：我们再将轨道方程与曲线极坐标标准方程对照

3、，取曲线的右焦点为极点，其中，e为偏心率，p为焦点到准线的距离，由上式可得：上式把变换成是为与几何学中圆锥曲线方程作比较而作的代换，实质上，这样不会影响曲线的形状及我们所要讨论的一些几何性质，仅仅是把坐标轴或图象旋转了一定的角度而已，从此式中我们可以看出轨道方程所表示的偏心率为：下面我们分四种情况讨论轨道方程：1．当e=0时，运动轨道为一圆，即：解此方程有：v0为发射速度，应该为实数，故cotα=0即α=90°，此时，即就是说，当卫星的发射速度方向与地心到该卫星的连线（极径）方向垂直时，并且满足发射速度是高度的单值函数，即，此时卫星便绕地球作圆周运动，运动半径为（R+H）。2

4、．当时，运动轨道为一椭圆，即：3．当时，运动轨道为抛物线，即：4．当，运动轨道为双曲线，即：根据以上几式，似乎发觉卫星作椭圆、抛物线、双曲线运动均与发射条件无关，果真是这样的吗？实际上，这只是一种理想化模型，是假设地球与卫星为质点的情况下才成立的，在实际问题中，我们需要考虑它们的大小，并且轨道不能穿过地球，即还有一个条件：，这里卫星仍被视为质点。由于在轨道方程中，我们是以地球的中心作为曲线的右焦点处理的，根据解析几何知识，在曲线上顶点到焦点的距离最短，故当时有最小的距离将代入此不等式，并解之有：故发射速度v0与发射角必须满足上式才能使卫星轨道不穿过地球，事实上，由上式亦可知，

5、欲使不等式右边为实数，要求，如果太小，此不等式便不会成立，那么轨道便会穿过地球，这是不符合实际的。下面我们再讨论一下近地面发射问题，近地面发射有H＝０，由上式可知，故只能取等号，于是有α=90°时，上式右边根号下成了0/0型极限问题，根椐数学知识可求出最终得出：综上所述，近地面发射问题只可能是发射速度与极径垂直，发射的最小速度是（又称第一宇宙速度），此时卫星以最小速度绕地球表面作圆周运动，当发射速度达时（又称第二宇宙速度）卫星以地心为焦点作抛物线运动，当然再也不可能返回地球，因为抛物线为非闭合曲线，当发射速度介于和之间时，卫星作椭圆运动，并随速度的增大椭圆越扁，地球为椭圆的一

6、个焦点，发射点为近地点。当卫星速度大于而小于第三宇宙速度时（物体逃离太阳系的速度，又称逃逸速度）它将在地球引力范围内作双曲线运动，当卫星脱离地球引力后，将绕太阳运动成为太阳的一个行星，如果控制发射速度和轨道，它也可成为其它行星的卫星。注①参见：熊志权，《关于人造地球卫星轨道的几点注记》，《湖南城市学院学报》2000年第5期，第39-41页，稍有改动。②参见：周衍柏，《理论力学教程》，高等教育出版社，1979年版。③安徽省宣城中学魏喜武《对一道考题的讨论》，《物理教师》2006年第6期第37页，魏老师指出，一个星体上有没有大气层的起因是很复杂的，影响因素尚未清楚，这在学术上还没

7、有定论的问题，拿来考高中学生是不太适宜的。