基金优化投资模型

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1、基金优化投资模型某校基金会得到一笔数额为M元的基金，打算将这笔钱存入银行或用于购买国库券，在n年内每年用其利息奖励优秀教师，要求各年的奖金额相同。现行银行存款及各期国库券的利率见表10.1（假设国库券每年至少发一次，但发放时间不定）。表10.1利率表期限银行存款税后年利率（%）国库劵年利率（%）活期0.972半年定期1.664一年定期1.800二年定期1.9442.55三年定期2.1602.89五年定期2.3043.14校基金会希望帮助解决如下问题：（1）就单纯存款方式给出最佳方案，并将结果推广到n无限情况，对于M

2、=5×107元，n=10年及n=12年给出具体结果。（2）就可存款可购国库券方式给出最佳方案，并将结果推广到n无限情况，对于M=5×107元，n=10年及n=12年给出具体结果。（3）学校在基金到位的三年后要举行百年校庆，基金会希望将该年的奖金在上一年度的基础上提高g，就M=5×107元，n=10年，g=0.2，给出具体结果。基本假设问题的本身尚有一些不确定的因素，比如说基金到位的时间，每年奖金发放的日期，银行利率的变动情况等。为使问题简化，我们给出如下假设：（1）该笔资金于年底一次性到位，自下年起每年年底一次性发

3、放奖金，每年发放的奖金额为固定的，记为yn。（2）仅考虑购买二年、三年、五年期国库券的情况，假设三种期限的国库券每年至少发行一次，且只要想买，就一定能买到。（3）银行存款利率和国库券的利率执行现行利率标准，且在n年内不发生变化。（4）国库券提前支取，按同期银行存款利率记息，且收取2‰的手续费。基本模型模型一单纯存款模型设将一元钱存入银行k年（包括中途转存），到期时本息最多可达rk元，则假如第k年有Mk元的存款到期，到期时取出，本息和最大可达rkMk。现将M元分成n份，分别记为M1，M2，…，Mn。将Mk存入银行k年

4、，到期时取出，将本息和作为第k年的奖金（第n年本息和除作奖金外，还要留下原始本金M），则应有rkMk=ynk=1，2，…，n-1，rnMn=yn+M，（10.50）记i=1，2，…，n，hn=yn/M则Mk=k=1,2,…,n-1,Mn=yn=,hn=（10.51）上式给出了n年内每年的奖金额yn与M的比值。该式的关键在于如何求出rk，k=1，2，…，n。下面我们给出rk的算法。设将1元钱存入银行k年，k年存期中有x1个一年期，x2个二年期，x3个三年期，x5个五年期，记Ak（x1，x2，x3，x5）为其本息和，则

5、Ak（x1，x2，x3，x5）=(10.52)其中x1+2x2+3x3+5x5=k，表示年定期的资金增长系数，且(10.53)其中pk={（x1，x2，x3，x5）

6、x1+2x2+3x3+5x5=k，x1，x2，x3，x5}，表示非负整数集。上述问题可以表示为如下规划问题：通过适当的变换，可以将上式转化为线性规划模型。实际上，这个问题还可以用其它方法求解，容易看出，任意交换二个存期的次序不改变本息和。例如，先存一年期后存三年期与先存三年期后存一年期，到期时本息和是一样的。不仅如此，经计算可知以下五式成立

7、b2

8、存款可购国库券模型仍将M分成M1，M2，…，Mn共n份，Mk可作存款或购买国库券用，其本息和用作第k年的奖教金，最后一笔除作奖金外，还应留下基金本金M。由于国库券在一年内不定期发行，为保证当有国库券时能即时买到，可以考虑将这笔钱以半年定期存入银行，若在上半年发行国库券，以活期利息提前支出，购买国库券，当国库券到期时取出，再存一个半年定期，剩余的时间以活期计息；若在下半年发行国库券，此时半年定期已到期，立即取出，购买国库券，到期时取出，剩余时间再存活期。购买国库券之前及到期取出之后的两段时间之和为一年，因此购买一个k

9、年期的国库券实际需要k+1年。通过分析可以得出，要获得最大的资金增值，应选择一年定期、二年定期、三年定期及三年国库券和五年国库券，而不应选择二年期国库券和五年定期存款。为了叙述方便，把买三年期国库券加半年定期及半年活期存款看成一个四年期存款，到期时资金增长系数为，把买五年期国库券加半年定期及半年活期存款看成一个六年期存款，到期时资金增长系数为。设将Mk的本息