《高等电磁理论》doc版

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1、1、试证明亥姆霍兹定理。亥姆霍兹定理指出，在由闭合面所包围的体积中的任一矢量场，由它的散度、旋度和边界条件（即限定空间体积的闭合面上的矢量场分布）唯一确定，并可写成一个无旋场和一个无散场之和。下面证明亥姆霍兹定理。在图1-1所示三维直角坐标系中有一闭合面，是闭合面所包围的有限空间。、为有限空间中任意的点，各自坐标分别为、，或者记为、。点指向点的矢量记为。图1-1利用函数的抽样性质，有限空间中任意一点处的矢量场可以写为：（1-1）方程1-1右端的积分空间为闭合面所包围的有限体积，积分变量是，此时可视为常量并且只有当它位于内时方程1-1才成

2、立。为了对方程1-1做进一步处理，考虑使用如下等式。（1-2）等式1-2的证明见附录1.1。将方程1-2带入方程1-1可得（1-3）其中积分变量为，而拉普拉斯算子是作用在上，所以交换拉普拉斯算子与积分的运算顺序不影响结果，交换两者运算顺序有：（1-4）根据矢量恒等式：方程1-4可以写为：（1-5）令：（1-6-1）（1-6-2）令：（1-7-1）（1-7-2）则方程1-5可以重新写为：（1-8）在方程1-8中，矢量场是标量的负梯度为无旋场，矢量场是矢量的旋度为无散场，这就将矢量场表示为了一个无旋场与一个无散场的和。下面对和做进一步处理。

3、在方程1-6-1中，由于求散度运算“”作用于变量，积分运算中积分变量是，所以交换两运算的顺序不影响结果。交换运算顺序得：（1-9）根据矢量恒等式：（1-10）得：（1-11）考虑到求散度运算“”只作用于变量，而是关于的函数，所以对求散度的结果为零。方程1-11右端只剩下一项：，代入方程1-9得：（1-12）考虑到等式：（1-13）其中“”作用于变量的梯度运算。等式1-13的证明见附录1.2。方程1-12可以重新表示成：（1-14）利用矢量恒等式：（1-15）可得：（1-16）将方程1-16代入方程1-14得：（1-17）对上式右端第二项

4、使用高斯定理：（1-18）代入1-17有：（1-19）在式1-6-2中，由于求旋度运算“”作用于变量，积分运算中积分变量是，所以交换两运算的顺序不影响结果。交换运算顺序得：(1-20)根据矢量恒等式：（1-21）可得到：（1-22）考虑到求旋度运算“”只作用于变量，而是关于的函数，所以对求旋度的结果为零。方程1-22右端只剩下一项：，代入方程1-20得：（1-23）再次使用等式1-13，上式可以写为：（1-24）利用矢量恒等式：（1-25）得：（1-26）带入1-24得：（1-27）利用恒等式：（1-28）方程1-27右端的第二项可以写

5、成：（1-29）带入1-27得：（1-30）综上，亥姆霍兹定理可以描述为：在由闭合面所包围的体积中的任一矢量场可以分为用一标量函数的梯度表示的无旋场和用另一矢量函数的旋度表示的无散场两部分，即（1-31）而式中的标量函数和矢量函数分别与体积中矢量场的散度源和旋度源，以及闭合面上矢量场的法向分量和切向分量有关，即（1-32a）（1-32b）上式中闭合面的法线的正方向指向闭合面外。证毕。附录11.1证明等式。证明：设直角坐标空间中任意两点、，坐标分别为、，或者记为、，点指向点的矢量记为。则点到的距离记为（1.1-1）对求梯度“”：（1.1-

6、2）当时，由的表达式1.1-1可得：（1.1-3a）(1.1-3b)(1.1-3c)带入1.1-2得：(1.1-4)对标量函数求梯度：（1.1-5）将1.1-4带入上式得：（1.1-6）对矢量函数求散度：（1.1-7）其中：（1.1-8）（1.1-9）将1.1-4带入方程1.1-9得：（1.1-10）将1.1-8和1.1-10带入1.1-7得：（1.1-11）在体积上对进行体积分，若积分体积中不包含点则在积分体积中恒成立，则根据1.1-11有被积函数恒等于零，积分结果自然为零。如果积分体积中包含点，此时可以选取以点为球心半径为的球面将原

7、积分空间划分为球外和球内两个积分空间。在球外的空间中显然已不含点，所以积分结果为零。在球内积分时，利用高斯定理有：（1.1-12）其中，是以点为球心半径为的球，是球面。将1.1-6带入上式得：（1.1-13）由于位于圆心，位于球面上，所以到的距离恒等于，并且矢量的方向与球面法线方向相同，因此有（1.1-14）所以此情况下在体积上对进行体积分的结果为：（1.1-15）综上，在体积上对进行体积分的结果可以表示为：（1.1-16）上式也可以表示成：（1.1-17）而三维函数的积分性质为：（1.1-18）比较1.1-17和1.1-18两式，可以

8、得出，命题得证。证毕。1.2证明等式：。证明：因为：（1.2-1）对求梯“”度有：（1.2-2）当时，由的表达式1.2-1可得：（1.2-3a）(1.2-3b)(1.2-3c)带入1.2-2得：(1.2-4