《多元函数微分》doc版

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3、(6).2．设考察函数在(0,0)点的偏导数.3．证明函数在(0,0)点连续但偏导数不存在.4．求下列函数的全微分：(1)；(2).5．求下列函数在给定点的全微分：(1)在点(1,0)和(0,1)；(2)在点(0,1)和(1,1)；(3)在点(1,1,1)；第11页共11页(4)在点（0，1）.6．考察函数在(0,0)点的可微性，其中7．证明函数在(0,0)点连续且偏导数存在，但在此点不可微。8．证明函数的偏导数存在，但偏导数在(0,0)点不连续，且在(0,0)点的任何邻域中无界，而在原点(0,

4、0)可微。9．设证明和在(0,0)点连续.10．设证明在(0,0)点可微，并求.11．设第11页共11页(1)是通过原点的任意可微曲线（即时，、可微）.求证可微.(2)在(0,0)不可微.12．设很小，利用全微分推出下列各式的近似公式：(1)(2).13．设在矩形：内可微，且全微分恒为零，问在该矩形内是否应取常数值？证明你的结论.14．设在存在，在连续，求证在可微.15．求下列函数的所有二阶偏导数：(1)；(2)；(3)；(3).16．求下列函数指定阶的偏导数：(1),求；(2)，求所有三阶偏导

5、数；(3),求，；(4),求；(5)，求；第11页共11页(6),求.17．验证下列函数满足.(1)；(2)；(3)；(4).18．设函数，证明.19．设在点的某邻域内存在且在点可微，则有.§2.求复合函数偏导数的链式法则1．求下列函数的所有二阶偏导数：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).第11页共11页2．设，其中是可微函数，验证.3．设，为常数，函数二阶可导，。证明.4．若函数对任意正实数满足关系，则称为次齐次函数.设可微，试证明为次齐次函数的充要条件是.5．验证下列各式：(1)

6、,则；(2),则；(3),则；(4),则.6．设可微，在极坐标变换，下，证明.这时称是一个形式不变量.8．设函数满足拉普拉斯方程第11页共11页，证明在下列变换下形状保持不变，即仍有.(1),；(2)；(3)满足.这组方程称为柯西－黎曼方程.9．作自变量的变换，取为新自变量：(1),变换方程；(2),变换方程.10．作自变量和因变量的变换，取为新的自变量，为新的因变量：(1)设，变换方程；(2)设，变换方程.11．求下列方程所确定的函数的一阶和二阶偏导数：(1)；(2)；(3)；(4).12．求

7、由下列方程所确定的函数的全微分；第11页共11页(1)；(2)；(3)；(4).13．设由方程所确定，证明。14．设，其中为由方程所确定的隐函数，求和.15．设，其中为由方程所确定的隐函数，求，.§3.由方程（组）所确定的函数的求导法1.求下列方程组所确定的函数的导数和偏导数：(1）求；(2)求；(3)求；(4)求.2.下列方程组定义为的函数，求，.第11页共11页(1)(2)§4.空间曲线的切线与法平面1．求下列曲线在所示点处的切线方程和法平面方程“(1),在点；(2),在点(1,-1,2)；

8、(3),在点(1,-2,1)；(4),在点.2．证明曲线在锥面的母线相交成同一角度.3．求平面曲线上任一点的切线方程，并证明这些切线被坐标轴所截取的线段等长.4．求两曲面的交线在平面上的投影曲线的切线方程.§5.曲面的切平面与法线1.求下列曲面在所示点处的切平面方程和法线方程：(1)，在点（1,1,2）；(2)在点；(3)在点(2,1,12)；(4)在点.第11页共11页1.求曲面的切平面，使它平行于平面.2.证明：曲面的切平面与某一定直线平行，其中为常数.3.证明曲面的每一切平面都通过原点.§