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1、Orlicz范数下的Hardy-Hilbert不等式周林林(绍兴文理学院数学系浙江绍兴312000)摘要:本文研究了Orlicz范数下的二元Hardy-Hilbert不等式.设,互为余函数,分别为的条件常数,则有积分型Hardy-Hilbert不等式:,这里:,,,及级数型Hardy-Hilbert不等式:,其中,,,,,.关键词:函数;Hardy-Hilbert不等式;Young不等式;条件1引言设p>1,1/p+1/q=1,,0<<,0<<,则著名的级数型Hardy-Hilbert不等式为:<,(1.1)它是分析学及应用领域的重要不等式,其积分形
2、式为:第13页,共13页(1.2)其中p>1,1/p+1/q=1,,,由[1]知道这里的常数是最佳的.近年来(1.1)、(1.2)已被众多人所推广和研究,如杨必成等证明:设p>1,1/p+1/q=1,,1<1,1/p+1/q=1,,0<<,0<<,则<,这里为Euler常数,=0.42278433.[4]中进一步证明:<,其中,=2(1/-(2n+1)/(n+1)).关于不等式(1.2)杨必成推广为:,其中p>1,1/p+1/q=1,,,第13页,共13页=0或-.此外杨必成还
3、得到了带有参数的有益推广:,其中,p>1,1/p+1/q=1,利用函数,洪勇从另外的角度给出了如下多重的Hardy-Hilbert积分不等式:,其中.另外,杨必成引入参数,对(1.2)推广如下:,其中常数因子是最佳值(是函数).通过引入参数杨必成等给出了(1.2)的又一个如下推广:,第13页,共13页其中,常数是最佳值(是函数).匡继昌给出了(1.2)的另一个推广:,(1.3)这里,及.杨必成沿用的方法给出了(1.2)的一个最佳常数因子的推广,从而改进了(1.3)式结果为:设p>1,1/p+1/q=1,,,,则有这里常数因子是最佳的.显然,上述结果对
4、Hardy-Hilbert不等式的研究主要在如下两方面:对权函数的推广;向高维推广.众所周知,Orlicz方向是方向的本质性的最自然的推广,那么可否建立在Orlicz范数下上述两种不等式的推广形式?为了回答这一问题首先叙述与Orlicz方向有关的一些概念.2与函数有关的一些结论定义1函数:设函数为非负偶函数,并满足:,及,则称其为一个函数.定义2对于函数其在Young不等式定义下的余函数函数定义为第13页,共13页,由[11]-[12]知道与互为余函数.例:则为函数,且所对应的余函数为其中.定义3设为函数为区域,G可以有界或无界,记,,称为而生成的O
5、rlicz空间,在上可以赋予下列范数Orlicz的范数及Luxemburg范数.两种范数之间有如下关系.相应的有下列Holder不等式,,,如果令且,.并有下列的Holder不等式.定义4设为函数,如果存在常数使第13页,共13页,则称.显然满足条件.定义5设为函数,为一无限数列.如果存在常数而使,则称,并定义中元素的范数为:,称为由函数而生成的Orlicz序列空间.记函数的反函数为.则有下列的不等式成立:,(Young不等式);;;,.3引理及其证明引理1设为函数,则,.(3.1)证明:因为,所以.引理2设为函数,则,.第13页,共13页证明:因为
6、,所以.引理3设函数,记则对有.证明:由于,存在而使,,令则,又令,则,因此,.令则有.(3.2)则对(3.2)两边同取反函数有,即.4主要定理及证明定理1设函数及余函数均满足条件,即存在常数而使,,则对,当时有如下的积分型Hardy-Hilbert不等式:.第13页,共13页其中,.证明:.所以,由Young不等式及有(4.1)由引理3,这样第13页,共13页(4.2)其中.同理,(4.3)其中.由(4.1),(4.2)及(4.3)三式得.(4.4)第13页,共13页由引理1因而,.定理2设,为互余的函数,,,且,均满足条件,即,,存在常数,则当时
7、有下列级数型Hardy-Hilbert不等式:记,.证明:由定理1的证明及Young不等式知道,所以第13页,共13页(4.5)再由引理3,因为,所以(4.6)而.同理第13页,共13页所以.(4.7)综合(4.5),(4.6),(4.7)三式有.(4.8)从而最后由(4.8)及引理2有,所以.致谢:衷心感谢盛宝怀老师的精心指导.参考文献[1]HardyGH.Littlewood.J.E&Polya.G,Inequality[M].CambridgeUniversityPress,Cambridge1952.[2]杨必成.关于一个推广的Hardy-H
8、ilbert不等式[J].数学年刊,2000,2:247-254.[3]杨必成,高明哲.关于Hardy-Hi