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1、Orlicz范数下的Hardy-Hilbert不等式周林林（绍兴文理学院数学系浙江绍兴312000）摘要：本文研究了Orlicz范数下的二元Hardy-Hilbert不等式.设，互为余函数，分别为的条件常数，则有积分型Hardy-Hilbert不等式：,这里：，,，及级数型Hardy-Hilbert不等式：,其中，,,,，.关键词：函数；Hardy-Hilbert不等式；Young不等式；条件1引言设p>1,1/p+1/q=1,,0<<,0<<,则著名的级数型Hardy-Hilbert不等式为：<,(1.1)它是分析学及应用领域的重要不等式，其积分形
2、式为：第13页，共13页（1.2）其中p>1,1/p+1/q=1,，，由[1]知道这里的常数是最佳的.近年来（1.1）、（1.2）已被众多人所推广和研究，如杨必成等证明：设p>1,1/p+1/q=1,,1<1,1/p+1/q=1,,0<<,0<<,则<,这里为Euler常数,=0.42278433.[4]中进一步证明：<,其中,=2(1/-(2n+1)/(n+1)).关于不等式（1.2）杨必成推广为：，其中p>1,1/p+1/q=1,，，第13页，共13页=0或-.此外杨必成还
3、得到了带有参数的有益推广：，其中，p>1,1/p+1/q=1，利用函数，洪勇从另外的角度给出了如下多重的Hardy-Hilbert积分不等式：,其中.另外，杨必成引入参数，对（1.2）推广如下：，其中常数因子是最佳值(是函数).通过引入参数杨必成等给出了（1.2）的又一个如下推广：，第13页，共13页其中，常数是最佳值(是函数).匡继昌给出了（1.2）的另一个推广：，（1.3）这里，及.杨必成沿用的方法给出了（1.2）的一个最佳常数因子的推广，从而改进了（1.3）式结果为：设p>1,1/p+1/q=1,，，，则有这里常数因子是最佳的.显然，上述结果对
4、Hardy-Hilbert不等式的研究主要在如下两方面：对权函数的推广；向高维推广.众所周知，Orlicz方向是方向的本质性的最自然的推广，那么可否建立在Orlicz范数下上述两种不等式的推广形式?为了回答这一问题首先叙述与Orlicz方向有关的一些概念.2与函数有关的一些结论定义1函数：设函数为非负偶函数，并满足：，及，则称其为一个函数.定义2对于函数其在Young不等式定义下的余函数函数定义为第13页，共13页，由[11]-[12]知道与互为余函数.例:则为函数，且所对应的余函数为其中.定义3设为函数为区域，G可以有界或无界，记,，称为而生成的O
5、rlicz空间，在上可以赋予下列范数Orlicz的范数及Luxemburg范数.两种范数之间有如下关系.相应的有下列Holder不等式,，,如果令且，.并有下列的Holder不等式.定义4设为函数，如果存在常数使第13页，共13页，则称.显然满足条件.定义5设为函数，为一无限数列.如果存在常数而使,则称，并定义中元素的范数为：，称为由函数而生成的Orlicz序列空间.记函数的反函数为.则有下列的不等式成立:，(Young不等式)；;;,.3引理及其证明引理1设为函数,则，.（3.1）证明:因为，所以.引理2设为函数,则，.第13页，共13页证明:因为
6、,所以.引理3设函数，记则对有.证明:由于，存在而使,,令则,又令,则,因此,.令则有.(3.2)则对(3.2)两边同取反函数有,即.4主要定理及证明定理1设函数及余函数均满足条件，即存在常数而使，，则对，当时有如下的积分型Hardy-Hilbert不等式：.第13页，共13页其中，.证明:.所以，由Young不等式及有(4.1)由引理3,这样第13页，共13页（4.2）其中.同理，（4.3）其中.由（4.1），（4.2）及（4.3）三式得.（4.4）第13页，共13页由引理1因而，.定理2设，为互余的函数，，，且，均满足条件，即，，存在常数，则当时
7、有下列级数型Hardy-Hilbert不等式：记，.证明:由定理1的证明及Young不等式知道，所以第13页，共13页（4.5）再由引理3,因为,所以（4.6）而.同理第13页，共13页所以.（4.7）综合（4.5），（4.6），（4.7）三式有.（4.8）从而最后由（4.8）及引理2有,所以.致谢：衷心感谢盛宝怀老师的精心指导.参考文献[1]HardyGH.Littlewood.J.E＆Polya.G,Inequality[M].CambridgeUniversityPress,Cambridge1952.[2]杨必成.关于一个推广的Hardy-H
8、ilbert不等式[J].数学年刊,2000,2:247-254.[3]杨必成,高明哲.关于Hardy-Hi
