高等数学情境—问题的教学实践

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2011年11月安阳工学院学报Nov.2011第10卷第6期渊总第54期冤JournalofAnyangInstituteofTechnologyVol.10No.6渊Gen.No.54冤高等数学“情境—问题”的教学实践—“数列的极限”教学案例赵玉亮袁华守亮渊安阳工学院数理学院袁河南安阳455000冤摘要院极限思想是高等数学中的重要思想袁我们在数列的极限教学过程中袁通过设置问题情境袁加深了学生对极限概念的理解袁培养了学生发现问题尧分析问题尧解决问题的能力遥关键词院极限思想曰高等数学曰数学情境中图分类号院G632.4文献标志码院A文章编号院1673-2928渊2011冤06-0112-031教学设计1.1教学背景培养创新型人才是当前高等教育的主要任务遥在高等数学教学中袁如何培养学生的创新能力袁已成为当前高等数学教学最紧迫的问题遥传统的高等数学教学方式往往只注重数学知识的传授袁教师在课堂讲的主要是定义尧定理证明尧公式尧法则及例题袁很少介绍这些理论是如何被发现的袁学生不了解数学创造的真实过程遥这样学生就感到数学知识都是靠逻辑推理出来的袁从而感到枯燥乏味袁也就对高等数学的学习失去了兴趣.遥大学数学野情境要问题冶教学方法袁就是通过教师的指导袁使大学生从熟悉或感兴趣的数学情境中袁通过主动探究尧提出问题尧研究问题和解决问题的过程袁获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学知识尧数学思想方法和应用技能袁培养勇于探索的科学精神遥1.2教材分析中学数学主要研究的是常量数学袁高等数学主要研究的是变量数学袁而联系常量数学和变量数学的桥梁是野极限冶的思想与方法遥野极限冶理论是现代数学的基础袁野极限冶思想方法是现代数学的基本思想方法遥因为野极限冶思想方法揭示了常量与变量尧有限与无限尧直线与曲线尧匀速运动与变速运动等一系列对立统一及矛盾相互转化的辩证关系遥本节课的教学目标院让学生掌握极限的基本特点院首先,极限是一个描述无限的尧动态的过程袁其次,极限是反映因变量变动趋势袁是衔接初等数学与高等数学的桥梁遥为了顺利完成这一教学目标袁我们决定采用野问题-情景教学法冶遥具体设计如下院1冤设置教学情境院求解表达式1+(-1)+1+(-1)+...的(无限加下去)结果袁使学生初步了解有限与无限尧运动与静止的区别袁从而对极限的概念形成感性认识遥2冤通过设置刘徽的野割圆术冶教学情境,使学生了解极限思想在几何学上的应用袁并进一步引出数列的野着-N冶定义遥2教学过程2.1创设情境师院我们知道1-1+1-1=0袁1-1+1-1+1=1袁而1+(-1)+1+(-1)+...袁无限个数相加袁其结果会是什么样呢钥大家讨论一下遥生1院等于0遥师院为什么钥生1院因为1+(-1)+1+(-1)+...=(1-1)+(1-1)=(1-1)+...袁所以等于0遥师院大家是不是都这样认为钥生院是浴师院刚才这位同学用了加法结合律袁同样袁我们还用加法结合律来算一下院1+(-1)+1+(-1)+...=1-(1-1)-(1-元收稿日期院2011-03-28基金项目院河南省高教教改研究项目渊教高[2010]23号编号院2009SJGLX290冤作者简介院赵玉亮渊1976-冤袁男袁河南安阳人袁安阳工学院讲师袁硕士袁主要从事算子理论研究遥 第六期赵玉亮袁华守亮高等数学野情境要问题冶的教学实践1131)-(1-1)-...袁它的野和冶应该是多少呢钥生2院它的野和冶应该是1钥学生们感到不可思议袁都一脸茫然地看着老师遥师院这确实是一个令人困惑的问题,这不岂是0=1吗钥因此袁意大利数学家格兰第说袁世界确实是可以从空无一物中创造出来的遥而当时的法国数学家莱布尼茨尧瑞士著名数学家雅各援伯努利尧约翰援伯努利也同意这种观点遥师院那么问题出在哪儿呢钥这主要是我们用静止的眼光看待运动的物体袁用处理野有限冶问题的思想方法来处理野无限冶问题遥有限个数相加袁它的和是静止的袁是一个确定的数袁我们可以用加法结合律袁而1+(-1)+1+(-1)+...无限个数相加是一个动态过程袁所以我们采用加法结合律显然是不合适的遥那么我们怎样来解决这个问题呢钥这就要用到今天咱们讲的极限理论遥师院我们再来考虑这样一个问题:半径为R的圆的周长怎么求钥生院等于2仔R遥师:大家在小学就学过这个公式袁那么这个公式是怎么得出来呢钥生院不知道遥师院下面我给大家介绍一下我国古代杰出的数学家刘徽提出的一种方法要野割圆术冶袁它的主要思想是借助于圆的一串内接正多边形的周长数列来定义圆的周长遥生院他的具体做法钥师院首先作圆的内接正六边形袁我们假设圆的半径为R袁记该六边形的周长为P6袁大家用中学学过的平面几何知识求一下P6等于多少钥生院师院我们平分正六边形所对的弧袁作圆的内接正十二边形袁记该十二边形的周长为P12袁那么P12等于多少钥生院遥师院我们用同样的方法袁继续作圆的内接正二十四边形袁圆的内接正四十八边形袁等等遥分别记为P24袁P48袁P26噎袁袁噎袁那么它们的周长别为院袁袁袁袁袁噎袁噎遥生院这些多边形的边长都是直线段袁而圆的周长是曲线袁它们怎么会相等呢钥师院大家的问题提得非常好浴这正是高等数学与初等数学的区别所在袁大家用初等数学知识求出了每个正多边形的周长遥大家想这样一个问题曰要是我们把作圆的内接正多边形这个过程无限地进行下去袁这显然n-1是一个动态过程袁大家想一下院是不是n越大袁正26边形的周长越逼近圆的周长钥刘徽说院野割之弥细袁所失弥少袁割之又割袁以至于不可割袁则与圆合体而无所失矣遥冶我们知道圆的周长是一个确定的数袁圆的内接正多边形的周长无限接近于这个数袁这是我国古代朴素的极限思想遥那么什么是极限呢钥我们下面通过数列的极限来给大家介绍一下遥我们在高中时学的数列极限的定义是院野当n无限增大时袁如果数列{an}无限接近常数a袁则称常数a是数列{an}的极限遥冶在这里袁野无限增大冶尧野无限接近冶都是比较朴素的语言袁不是严格的数学定义遥高等数学里给出了数列极限严格的数学定义袁也就是野着-N冶定义院设有数列{an}袁a是常数袁若对任意着>0袁总存在自然数N袁使得对任意自然数着>N袁有袁则称数列{an}的极限是a遥生院着是任意小袁那它有多小钥师院对任意小的正数k袁总有着N袁曰我们取着=0.021袁则当N=50时袁对于任意自然数n>N袁曰我们取着=0.011袁则当N=100时袁对于任意自然数n>N袁,这说明着具有相对固定性曰而从0.11到0有无穷个点袁着可以取任意点袁所以着具有绝对的任意性遥因此袁对任意着>0袁总存在自然数N袁使得对任意自然数n>N袁有袁则称数列的极限是0遥即遥3教学反思在本节课的教学实践中袁我们首先设置了1+(-1)+1+(-1)+...无穷个数相加的教学情境袁让学生了解到野有限冶与野无限冶的区别遥我们设置刘徽的野割圆术冶教学情境让学生对极限思想有了初步的认识袁同时也认识到我们的祖国是一个历史悠久的文明古国袁我们中华民族是一个对世界文明的发展做出许多贡献的伟大民族袁从而激发学生爱国主义热情遥我们通过用野着-N冶定义证明袁使学生对数列的极限定义有了更深刻的认识遥参考文献:[1]顾泠沅.教学改革的行动与诠释[M].北京:人民教育出版社,2003.[2]王升.研究性学习的理论与实践[M].北京:教育科学出版社,2002.[3]吕传汉,汪秉彝.数学情境与数学问题[M].重庆:重庆大学出版社,2001.[4]刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义(第三版)[M].北京:高等教育出版社,1992.[5]聂必凯,汪秉彝.重视发现数学问题尧提出数学问题能力的培养[J],贵州师范大学学报(自然科学版),2000,18(4):79-81.TheTeachingPracticesofMathematicalSituationandPosingProblemsinUniversityZHAOYu-liangHUAShou-liang(DepartmentofMathematicsandPhysics,AnyangInstituteofTtechnology,Anyang455000,China)Abstract:Theideaoflimitplaysanimportantroleinhighermathematics袁duringtheprogressofteachinglimitofsequences袁wesetoutthequestioncircumstances袁soastocultivatetheabilitiesofthestudentstodiscover,analyseandsolvetheproblems.Keywords:Theideaoflimithighermathematicsmathematicalsituation渊责任编辑院郝安林冤