第3章微积分问题的计算机求解

《第3章微积分问题的计算机求解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第3章微积分问题的计算机求解IsaacNewton（1643–1727）和GottfriedWilhelmLeibniz（1646–1716）创立的微积分学是很多科学分支的基础。单变量与多元函数微积分、函数极限、级数求和、Taylor级数展开、Fourier级数展开、常微分方程等问题直接求解是微积分学的重要内容。MATLAB的符号运算工具箱可以直接求解这样问题的解析解。本章3.1节中给出基于MATLAB符号运算工具箱中函数的单边、多边极限问题及多元函数极限问题的求解方法，3.2节介绍各种微分问题的计算机求解方法，3.3节介绍各种积分问题的解析求解方法

2、。3.4节将介绍给定单变量函数与多元函数的Taylor幂级数展开、给定函数的Fourier级数逼近方法，并利用MATLAB的绘图功能研究有限项拟合的拟合效果和适用范围；还介绍一般级数的求和与求积方法等。3.5节中将介绍的两类曲线积分和两类曲面积分及其MATLAB求解方法补充了微积分学的计算机求解方式，这部分内容大部分均应该是解析求解和解析推导，属于计算机代数研究的领域，用传统的数值分析方法是不能求解的。对不熟悉计算机代数系统开发的读者来说，用C这样的底层语言直接进行解析解推导有极大难度，必须使用计算机数学语言完成这类问题的分析与求解。通过这几节内容的

3、初步学习，读者可能会发现借助计算机去求解曾令很多学生望而生畏的吉米多维奇《数学分析习题集》[1]中的绝大部分计算问题变得轻而易举。在实际科学与工程研究中，微积分问题解析求解有时也面临困难。例如，若函数本身未知，只由科学实验测出的一些实验数据，则无法用推导的方式通过数据对其代表的函数求导或求积分，而需要通过数值的方式进行数值微积分运算。3.6节中将单变量与多元函数的数值微积分计算问题。在实际应用中还有很多函数积分的解析解不存在，所以需要通过数值积分的算法进行近似。3.7节中将介绍用数值算法求取函数积分及重积分问题的求解方法。作为本章内容的补充，8.2节

4、将介绍基于样条插值的数值微积分方法；如果微积分的阶次可以选择为非整数，还可以引入一个新的学科——分数阶微积分学。本书10.6节将系统介绍分数阶微积分学问题及其MATLAB求解方法。3.1极限问题的解析解应用MATLAB语言的符号运算工具箱，可以很容易地求解极限问题、微分问题、积分问题等微积分基本问题。利用本节和后面两节介绍的方法，读者应该能立即具备依赖MATLAB语言及其符号运算工具箱中提供的强大函数直接求解一般微积分运算问题的能力。本节主要侧重各种极限问题的求解方法，包括单变量极限、单边极限和多重极限等问题。3.1.1单变量函数的极限假设已知函数f

5、(x)，则极限问题的一般描述为L=limf(x)（3-1-1）x→x0·54·高等应用数学问题的MATLAB求解（第四版）其物理意义是当自变量x无限接近x0时函数f(x)的取值，其中，x0可以是一个确定的值，也可以是无穷大，例如x→∞。对某些函数来说，还可以如下定义单边极限（或称左右极限）问题。L1=limf(x),或L2=limf(x)（3-1-2）−+x→xx→x00前者表示x从左侧趋近于x0点，所以又称为左极限，后者相应地称为右极限。极限问题在MATLAB符号运算工具箱中可以使用limit()函数直接求出，该函数的调用格式为L=limit(f,

6、x,x0)％求极限L=limit(f,x,x0,'left'或'right')％求单边极限.在求解之前应该先声明自变量x，再用符号表达式的形式定义原函数f，若x0为∞，则可以用inf直接表示。如果需要求解左右极限问题，还需要给出'left'或'right'选项。如果函数中只有一个符号变量，则可以在调用语句中忽略该变量。由symvar()函数可以提取出符号表达式f中符号变量的列表，该函数的调用格式为list=symvar(f)。下面将通过例子演示MATLAB求解极限的方法。例3-1先考虑一个非常简单问题的求解：limsinx/x。x→0解学过微积分的人

7、都知道该极限为1。可以用这个例子来演示本书介绍的三步求解方法：À了解该极限的含义；Á将问题用MATLAB描述出来；Â调用MATLAB函数求解。即使对没有学过极限的概念读者而言，也可以用语言解释明白函数极限的物理意义，就是当x接近0时sinx/x函数接近的值——这就很自然地完成了三步求解方法中的第一步。第二步需要做的是先声明符号变量x，再将函数sinx/x表示出来，第三步，调用limit()函数求极限的值。用MATLAB语句可以直接求解原问题，得出其解为1。.>>symsx;f=sin(x)/x;limit(f,x,0)%直接求解极限问题由于在符号表达

8、式f中，x为标量型符号变量，所以没有必要使用点运算。另外由于x是唯一变量，所以该问题可以更简单地用下面的语句