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《matlab应用第4章第4版 微积分问题的计算机求解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第4章微积分问题的计算机求解4.1 极限问题的解析解4.1.1单变量函数的极限已知函数f(x)，则极限问题的一般描述为其中，x0可以是一个确定的值，也可以是无穷大。对某些函数来说，还可以定义单边极限（或称左右极限），或前者表示x从左侧趋近于x0点，称为左极限，后者相应地称为右极限。极限问题在MATLAB符号运算工具箱中可以使用1imit函数直接求出，该函数的调用格式为1．limit(f,x,a)：求2．limit(f,a)：求f(x)的极限值。符号函数f(x)的变量为函数findsym(f)确定的默认自变量a，即x→a3．
2、limit(f)：求f(x)的极限值。符号函数f(x)的变量为函数findsym(f)确定的默认自变量。没有指定变量的目标值，系统默认自变量趋近于0，即a＝0。4．limit(f,x,a,’right’)：求。’right’表示变量x从右边趋近于a5．limit(f,x,a,’left’)：求。’left’表示变量x从左边趋近于a例1求解极限问题。symsxab;f=x*(1+a/x)^x*sin(b/x);L=limit(f,x,inf)例2．求symsamxf=(x^(1/m)-a^(1/m))/(x-a)limit(
3、f,x,a)例3．求symsxf=x*(sqrt(x^2+1)-x)limit(f,x,inf,'left')%为什么不right？例4．求symsamxf=(sqrt(x)-sqrt(a)+sqrt(x-a))/sqrt(x*x-a*a)limit(f,x,a,'right')例5求解单边极限问题symsx;limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0,'right')例6分别求出tanu函数关于π/2点处的左右极限。symsu;f=tan(u);L1=limit(f,u,
4、pi/2,'left')L2=limit(f,u,pi/2,'right')4.1.2多变量函数的极限多元函数的极限可以同样用MATLAB中的limit函数直接求解。假设有二元函数f(x,y)，若要求出二元函数的极限则可以嵌套使用limit函数。例如，L1=limit(limit(f,x,x0),y,y0)或L2—limit(limit(f,y,y0),x,x0)如果x0或y0不是确定的值，而是另一个变量的函数，例如x→g(y)，则上述的极限求取顺序不能交换。例7求出二元函数极限值symsxya;f=exp(-1/(y^2
5、+x^2))*sin(x)^2/x^2*(1+1/y^2)^(x+a^2*y^2);L=limit(limit(f,x,1/sqrt(y)),y,inf)4.2函数导数的解析解4.2.1函数的导数和高阶导数如果函数和自变量都已知，且均为符号变量，则可以用diff函数解出给定函数的各阶导数。diff函数的调用格式为diff(s)：没有指定变量和导数阶数，则系统按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求一阶导数。diff(s,'v')：以v为自变量，对符号表达式s求一阶导数。diff(s,n)：按findsym函数指示
6、的默认变量对符号表达式s求n阶导数，n为正整数。diff(s,'v',n)：以v为自变量，对符号表达式s求n阶导数。例1．，求symsxy=sqrt(1+exp(x))diff(y)%求1。未指定求导变量和阶数，按默认规则处理例2．，求y’’、y’’’。symsxy=x*cos(x)diff(y,x,2)%求2。求y对x的2阶导数diff(y,x,3)%求2。求y对x的3阶导数例3给定函数，试求出symsx;f=sin(x)/(x^2+4*x+3);f4=diff(f,x,4)4.2.2隐函数的偏导数已知隐函数的数学表达式
7、为，则可以通过隐函数对它们的偏导数求出自变量之间的偏导数。具体可以用下面的公式求出：例4．由定义，求，symsaxyzf=x^2+y^2+z^2-a^2zx=-diff(f,x)/diff(f,z)%求z对x的偏导数zy=-diff(f,y)/diff(f,z)%求z对y的偏导数例5二元函数，求symsxy;f=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y);-simple(diff(f,x)/diff(f,y))4.2.3参数方程的导数若已知参数方程，，则可以由递推公式求出对于简单的一阶和二阶导数，可以直接用下面
8、的公式，例3．，求、symsabtxy1=a*cos(t);y2=b*sin(t);F1=diff(y2)/diff(y1)%按参数方程求导公式求y对x的导数F2=(diff(y1)*diff(y2,2)-diff(y1,2)*diff(y2))/(diff(y1))^3%求y对x的2阶导数对于更高阶参
