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《问题53由复杂递推关系式求解数列的通项公式问题-2018届高三数学成功在我之优等生提》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2018届修科闊老三赦修啟功在我专题五数列问题三：由复杂递推关系式求解数列的通项公式问题—、考情分析递推公式是给出数列的一种重要方法，常出现在客观题压轴题或解答题中，难度中等或中等以上.利用递推关系式求数列的通项吋，通常将所给递推关系式进行适当的变形整理，如累加、累乘、待定系数等,构造或转化为等差数列或等比数列，然后求通项.二、经验分享（1）已知S”求°”的步骤当n—1时,d]=Si；当必2时,an—Sn—Sn-1；（3）对n=1时的情况进彳丁检验,若适合庇2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式.学二科网（2）已知数列的前儿项，写出数列的通项公式，主要从以
2、下儿个方面来考虑：如果符号正负相间，则符号可用（一1）"或（一厅冲来调节.分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系来解决.对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决.此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察（观察规律）、比较（比较已知的数列）、归纳、转化（转化为等差、等比或其他特殊数列）等方法来解决.（3）已知数列的递推一关系求通项公式的典型方法当出现an=an-｝+m时，构造等差数列；当出现an=xan-+y时，构造等比数列；当出现an=an-+fln）时，用累加法求解；当=x«）时，用累乘法求解.三
3、、知识拓畏若数列｛%｝满足an+aM+1=an^b,则数列｛a2/I｝,｛^2w-i｝都是公差为a的等差数列，若数列｛%｝满足cij匕屮=a•旷（6/主0,b丰0,bHl）,则数列｛仏｝，｛如—｝都是公比为b的等比数列.四、题型分析（一）用累加法求数列的通项【例1.J在数列｛色｝中=-,%+厂色=」一,则该数列的通项公式色=.24n—1【分析】题目已知条件是an-an_.=f（n）（n>2,HneN*）形式，用叠加原理求解.【解析】因为d曲-匕=」一=丄(),所以运用累加法即可得到：4/-122/2-12〃+1(an_an-)+(aH-_an-2)+L+(€Z
4、2~[(1-^)+(
5、-
6、)+L+('_J)]=^(>-J)，所23352n-32n-l22n-l114h—34n—3以a=坷+1(1——)=竺上，故应填岂丄.：122n-l4/7-2An-2【点评】当an-an_x=f(n)(n>2,且“wbT)满足一定条件吋，可用an=（an-a„_｝）+（%】一％_2）+…（色一4）+坷来求通项％，这种方法通常叫累加法.本题用到裂项相消求和，相消时应注意消去的项规律,及消去哪些项，保留哪些项，丁•是前〃项的和变成首尾若T•少数项之和.还有不少同学会出现的错误，认为d=或d二-^―是常数，实际上d二-^―或d=-^―是个变暈,
7、/7/?"-nn~--nn~-nrT+n变化d随Z改变.【小试牛刀】数列｛a“｝满足=1,a2=2,an+2=2an+1—+2.⑴设bn=an+-an,证明｛%｝是等差数列;⑵求｛如的通项公式.【解析】（1）证明：由d“+2=2d”+]—d“+2得，a“+2—°”十1—十1—a”+2,即bn+i=bn+2.又b=Cl2—4]=1.所以｛%｝是首项为1,公差为2的等差数列.⑵由⑴得如=1+2（刃一1）,即an=2n—1.于是厶⑷-i一公）=£（.2k-1）,所以如1一巾=用，即0«+1=沖+Q1.又Ql=l,所以｛/｝的通项公式为an=ff-2n+2.【点评】本
8、例是典型的由数列的递推公式求通项公式的问题.第（1）问屮要注意对数列｛给+i—给｝的整体把握.第（2）问中用的是累加法.注意切忌忽略对⑷的验证.（二）利用累乘法求数列的通项【例2]设｛a“｝是首项为1的正项数列，且（几+1疋+1-血；+an+xan=O（tigM）,则a“=.【分析】观察已知的递推式，用十字交叉法分解因式，可求得％与a曲的•关系式，再用累乘法求解.【解析】T（»+l）d：i-血;+anAan=0,・•・（如+务）（％］+如一叫）=0,am由于匕｝得各项为正J.%i+冷H0,二叫+i+°卄1一叫=0很卩-^=,an刃+1.•.^-=^^-=1^=7：
9、--,—=—^将以上各式相乘得-=-.又3=1：込2a23a34nc・・务=-（weN*）.kn【点评】形如丄=/（町型的递推公式常用累乘法.当f（n）=q为常数且不等于0时,数列为等比数%列,®=a｛-qn~x；当/*（防为川函数时=匕-.他—'a-/（n-1）-an-ian-2坷/（n-2）••…/⑴q.本题可思考｛处“｝为常数数列.Yl/j【小试牛刀】【2018河南周口3月质检】数列｛%｝中，前舁项和为S”，：=寸⑴求数列｛%｝的通项公式；学二科网⑵令仇=-^+—?卄1°/:+2,证明：2〃
10、号1)%"
