速解高中解析几何的方法之一数形结合

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1、四川省咄县笫三中学姚慰民【摘要】解析儿何是高考数学的必考内容，在所有题型屮所占比值相对较高。一-般來说，解析儿何的难度比函数低，且有一•定的技巧性，只要掌握了速解技巧，将题目的“数”与“形”相结合，将题H所给条件一一对应来帮助解题，就能减少解题时间，也不会漏掉题H条件，捉高答题效率。因此，准确运川数形结合答题方法是高中解析几何成绩的决定因素。文章对速解高中解析几何方法屮的数形结合进行分析，对数形结合在解析几何几种题型屮的运用进行举例说明。【关键词】高中解析儿何；速解方法；数形结合中图分类号：G633.65文献标识码：A文章

2、编号：1671-0568(2015)33-所谓数形结合，就是把题bl所给条件中的“数”与“形”一一对应，用简单的、直观的儿何图形及条件Z间的位査关系來将复杂的、抽象的数学语言及条件ZI'可的数量关系结合起來，通过形象思维与抽象思维之间的结合以形助数或以数解形，使复朵的问题简单化、抽象的问题具体化，以达到化解题途径的冃的。可见，数形结合在平面解析几何和立体解析几何的解题中冇重要的作川。一、解析几何的概念解析儿何是儿何学的分支，主要是用代数方法研究儿何对象Z间的关系和性质，因而解析儿何也叫必标儿何，它包括平而解析儿何和立体解析

3、儿何两部分。平而解析儿何是二维空间上的解析几何，立体解析几何是三维空间上的解析几何，立体解析几何比平面解析几何更加复杂、抽彖。二、数形结合法的概述1.数形结合的解题思想通常来说，一道题目不会明确指定用数形结合的方法进行答题,每道题也不会只有一种解题方法，但数形结合方法在解析几何答题中具备相当的优势，能减少运算量，节约答题时间，提高正确率。因此，学生需要在平时练习中形成数形结合的解题思想，遇到解析几何时,能清楚条件与问题之间的数最关系与位置关系，将“数”与“形”一一对应，快速找到解题突破点。事实上，当熟练掌握数形结合方法能够

4、举一•反三时，遇到的所有题目都是同一•题目To因此，高中生必须熟练学握数形结合的解题思想。掌握数形结合思想，就必须搞清楚卜列关系：①实数与数轴上的点的对应关系；②llll线与方程的对应关系；③函数与图像的对应关系；④复数、三角函数等以儿何条件和儿何元索为背最建立的概念；⑤题目所给等式或代数方程式结构中所含明显的儿何意义。1.数形结合的方法简介数形结合法是速解高中解析几何方法中的一种，由于部分解析几何木身就是“数”与“形”的结合，因而数形结合法也是速解高中解析儿何方法中最为常见的一利。数形结合在求最值、解不等式、圆类问题、算

5、轨迹方程屮有着广泛的应用，在复合函数和三角函数屮也有应用实例。三、采用数形结合法速解解析几何题的策略1.数形结合法速解解析几何最值问题最值虽只是数最关系问题，但解析几何中的最值往往涉及到条件之间的位置关系，本质上是空间的儿何结构代数化，來实现Illi面的数量化。因此，解析儿何小的最值问题单从代数入手或仅对儿何图形进行分析不能达到解题目的，针対此类最值问题，需要运用数形结合的解题方法来进行最值题型答题。以下面一题为例：己知：实数x、y满足(x-1)2+(y+2)2=50求：S=x-2y的最大值和最小值。解析：先对题bl条件位

6、置关系进行整理，方程(x-1)2+(y+2)彳二5是以点(1,-2)为圆心，弱为半径的圆。对S=x-2y整理得直线y二丄x-丄S,-丄S是直线在y轴上的截距。2222在宜角坐标系上分别呦出曲线的位置，如图1。根据图形分析，当-丄S取最小值时，S取最大值，此时，直线与圆相切，圆点到直线的距离就刚好等于半径，即：可得S図小值=0,S赧人值=10。策略要领：已知数量转图形，坐标图上示分明；整理等式找截距，X与Y转都可以；最大值与最小值，都与正圆要相切。2.数形结介法速解解析儿何圆类问题解析几何中圆类问题，主要是求圆与圆Z间的位置

7、关系、圆与直线的位置关系、圆的标准方程等，数形结合对速解関类问题也冇很大帮助。例如，在判断I员1与直线的位置关系时,通过建立肓和坐标系，学生可以肓观地观察到肓线在圆外，但需要写出确切的答题步骤才能得分。这时就需要有数形结合的解题思想，以数解形。通过计算圆心到直线的距离，距离比圆的半径大即表明总线在圆外，这是最基本的用数形结合方式解答圆类问题。对数形结合法速解解析几何圆类问题，以下特举一例说明：已知：曲线y二1+J4-F直线y=k(x-2)-i-4交于两个不同的点，求实数k的取值范围。解析：将曲线y二1+丁4-/变形，得x2

8、+(y-l)M(lWyW3),可知曲线是以点A(0,1)为圆心，2为半径的圆，但值域y要人于1,因而是上半圆。直线尸k(x-2)+4过定点B(2,4),如图2。当总线绕点B按顺吋针旋转至总线与圆相切，当总线与圆的一个交点在弧线MTZ间都满足题冃耍求，符合题意。阳交点M在直线y=l±,nJ'算出点的坐标，