对称性在积分学中的应用

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1、毕业论文（理工类）题目：对称性在积分中的应用学生姓名：学号：专业：数学与应用数学年级：学院：数学与计算机学院指导教师：教务处制目录第一章对称性在定积分中的应用4第一节对称性与定积分的相关定义、定理4第二节定积分的基本定理4第三节对称性在定积分中的应用举例6第二章对称性在重积分中的应用8第一节重积分的几何意义8第二节对称性在重积分中的重要定理8第三节对称性在二重积分中的应用举例13第三章三重积分的对称性应用14第一节空间对称区域14第二节空间对称区域上的奇偶函数15第三节奇偶函数在空间对称区域上的积分15第四节三重积分的应用举例16第四章利用对称性构造积分18第一

2、节对称性在积分应用中的其他重要结论1821第二节利用对称性构造积分的应用举例18参考文献对称性在积分中的应用摘要：本文归纳了对称性在积分计算中的一些重要结论，利用这些结论，使较复杂的计算变得简单，并结合实例说明这些结论的应用.关键词：奇偶函数积分对称性在积分计算中，根据题FI的条件，充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往可以达到事半功倍的效果.下面我将从积分相关的定理和结论,再结合相关的实例进行具体的探讨•本文结合积分域关于平行于坐标轴的直线、平行于坐标面的平面、平行于坐标轴对角线的直线的对称性定义，来讨论积分的对称性。第一章对称性在定积分中的应用第一

3、节•对称性与定积分的相关定义、定理对称性定义1：设平而区域为D,若点(x,y)wD，则D关于直线X-a对称，则(x,y)与(2a-x,y)是关于x=a的对称点•若点(x,y)w£)o(x,2b-y)gD,则D关于直线y=b对称,称点(x,y)与(x,2Z?-y)是关于y=b的对称点(显然当a=Of/?=()对D关于y,x轴对称)对称性定义2:设平面区域为£>,若点(x,>')gD(y-a,x-a)eD,则£>关于y=x^a对称,称点(x,y)与(y-a,x-a)是关于y=x--a的对称点.定积分定理1：设f(x)在区间［讪上连续，则f⑴在［a,b］上可积.定积

4、分定理2:设f(兀)在区间［。,切上有界，且只有有限个间断点,则心)在［讪上可积.第二节：定积分的基本定理定积分的意义(1)若/(x)>0,定积分f(x)clx表示曲线歹二/(兀)与直线x=ci,x=b及x轴所I韦I成的曲边梯形的面积；(2)若/(X)<0,曲线y=/(X)与直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为eb-Jf(x)dx；Ja(3)若/(x)符号不定，则定积分£f{x)dx表示曲线y=/(x)与直线x=a,x=〃及r轴所圉成的曲边梯形位于兀轴上方的图形面积减去位于兀轴下方的图形面积的差值。1.2对称性在定积分应用中的基本定理推理设函数/(兀

5、)在［―处+切上连续，贝惰兀)#(1)rO『b[/(d+t)dt二£f{a-v}dv将(3)式代入(2)式，并将积分变量统一成x,则Cf(X)必=]'[/(a+x)+f(a-x)~dx特别地，令0=0,就得公式f/(x)心J：[/(x)+/(-x)M由函数奇偶性的定义及上式，易得(3)定理1设/(兀)在对称区间[・。卫]上可积(i)若/(兀)是偶函数，则成立•“raf(x)dx=2f(x)dx-aJO(ii)若/(兀)是奇函数，则成立CGJfMdx=0J-a证明：由f(x)dx=f{x)dx+£f{x)dx,对积分j°f(x)dx作变量代换x=-t,得r()

6、「()ffMdx=-Jf(-t)dt=J-aJqeaJof(x)dx[-£/(皿，/(兀)为偶函数,/(无)为奇曲数例1:计算/二f(71+x2+x)dxW：7=£(71+x2+x)必=J](1+兀2+2xVl+x2+x2yZr=£2xVlx2dx+J[(1+2x2)dx很容易知道x为奇函数，J1+/为偶函数,所以有:而(l+2x2)为偶函数，所以有：化(1+2/)心=2](1+2/加即：/=

7、(J1+兀2+x)加=0+2』(1+2x2)dxo/23X110=2(xH—x)n=—303例2：计算积分解：我们计算积分，一眼就看岀了它的积分域是对称的，我们可以直接

8、联想到对称性得问题令心9JCx2+ldx•95xsirrxf—；dx…+12•?「5+xsirrxAX2+1•9xsirrxx2+l而有：心)=却=訂"(小即M)是偶函数有：心=(-曲(-—斗即力⑴是奇函(-X)+1X+1「〜数则有：二2『(1皿+0Jox2+l=10-2arctan5定理2设函数/(尢)连续，1)若y=/(x)的图形关于直线x=a对称，即/(6z+x)=f(a-x),则对一切b>0,有2)若y=/(x)的图形关于点(a,0)对称,即/(«+%)=-/(«-%),贝!J对一切b>0,有匸：心)心0证1)由(1)式及已知条件/(^+x)=f(a-x

9、),有^f(x)dx=2