三维不可压缩粘性流的有限元方法与其应用

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1、第一章前言§1．2流体力学的有限元方法有限元法是在六十年代开始应用于流体力学的，从晟初的只能求解位势流已发展到能够求解不可压的N·S方程，乃至高速的可压缩粘性流[10，11】和气动热力学B2，13】等复杂问题。数值方法也由单一的Galerkin方法，发展到Petrov—Galerkin．SUPG(Streamline-Upwind／Petrov-Galerkin)f14，15】，GLS(Galerkin／least-squares)【16，17】，CAU(ConsistentApproximateUpwin

2、d)[18]等方法。Galerkin有限元方法是被最早引入流体力学的有限元方法[19，20]。研究和数值实验表明，当计算高Re数流动时，由于方程中的非线性项占主导地位，数值解在节点间产生伪振荡。一般认为用对称的Galerkin格式处理方程中的非对称项是产生振荡的原因之一。Galerkin格式类似于有限差分法中的中心差分[2l】，差分法中处理这类数值振荡的办法是将微分算子离散为非对称的迎风算子。1976年，Zienkiwicz等[22]指出了上述Galerkin方法中的缺点并首次提出了一维格式的修正。随后，H

3、einrich等[23]提出了针对无源项的一维常系数定常对流扩散方程的Petrov．Galerkin格式，该格式在：市点上得到方程的精确解。有别于Galerkin格式的是，Petrov．Galerkin方法的权函数不同于基函数，其方法是将权函数取为基函数加一个高阶扰动函数，高阶函数的加入，使单元的权重更偏向于来流方向的节点，起到了迎风的作用。不久，Hughes[24】通过修改对流项的数值积分，将数值积分中值点由原来的单元中点取在靠近上游的某处，从而成功的求解了一维定常对流扩散方程。到此，不难看出，上述几种方

4、法仅仅限于定常无源的对流扩散方程，仍难以向多维流和非定常流推广，因而学术界对它们的评价也是毁誉参半。进入八十年代后，Brooks＆Hughes[25】和Johnson＆Navea[26】分别独立发现，为消除数值振荡，只需在流线方向加入人工粘性即可。他们在原有Galerkin有限元的基础上，在流线方向上加一个迎风的扰动项。这便是SUPG方法或称SD方法(StreamlinediffusionMethod)。后来，Hughes又在SUPG中加入了间断面捕捉项【27]，可以较好的模拟激波和剪切层。为了加速Gale

5、rkin解的收敛，Hughes将最小二乘项加入到Galerkin方法中去，从而形成了GLS方法[17】。最小二乘项的加入同时提高了解的稳定性和精度。§1．3不可压缩流Navier．Stokes方程的求解非定常不可压缩流Navier-Stokes方程的求解，受到了计算流体力学界的广泛关注，其重要特性在于，不可压缩非定常NS方程组是混合型的，即含有抛物型和椭圆型两3第一幸前言种性质的微分方程f281。连续性方程中缺少动量方程所含有的时间导数项．因而不能对连续性方程用时间推进求解。二维NS方程的有限元数值解法人体

6、可分为以-卜三种类型【29】：即涡一流函数形式，流函数形式和原始变量形式。“涡一流函数法”就是在二维流情况下，通过引入流幽数来满足连续性方程。本来，NS方程组要求解三个方程，计算量较人，而涡一流函数方程组是由一个对流扩散型的涡量方程和一个Poisson型的流函数方程组成，使求解变得较为容易并减少了计算机内存要求。这是不少文献在平面和轴对称流动的情形下采用涡一流函数方法求解不可压缩NS方程的原因[30，31】。其缺陷在于，州壁边界上的涡挝边界条件难以规定得很合理。“流函数”方法在数值求解时有很多缺点，目前很少

7、有人采用。求解原始变量形式的NS方程的工作一直受到人们的重视，一是因为求解的变鬣是物理的，非常直观，避免了壁涡边界条件处理的困难，且适合于强调求解压力场的情况。二是此法便于由二维流向三维流的推广。原始变量形式的NS方程的有限元数值解法大体可分为两种类型，即SIMPLE(SemiImplicitPressureLinkedEquations)方法和分裂步数法[32】。这两种方法都是用由不可压条件得出的压力来修正速度，在这一点上，它们是一致的。但在求解压力方程的过程中SIMGPLE方法的每一个计算时间步都要先进

8、行压力方程系数矩阵的计算，因此，对计算量本来就很庞大的有限元法采用SIMPLE方法不啻是雪上加霜[33，34，35]。分裂步数法则是通过对动量方程取散度得到压力Poisson方程，然后分别离散动量方程和压力Poisson方程，交替求解速度甜，v和压力P的值。相比而言，分裂步数法的压力系数矩阵可在计算开始时一次求出，可谓一劳永逸[32，36]。用有限元法求解原始变量N．S方程，有速度和压力的插值函数等阶和不等阶两种