三维粘性流的数值模拟.doc

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1、2001.2.8三维粘性流的数值模拟1.控制方程三维非定常可压缩NS方程在直角坐标下的形式为（1）这里式中（2）为总能量，粘性系数由Sutherland公式给出（3）这里的，，。而为热传导系数，是Prandtl数。粘性应力张量另外还要给出状态方程（5）2.无量纲化取来流的密度、速度、温度、黏性系数和飞行器的特征长度为特征量，定义无量纲量利用这些无量纲量，可将方程组（1）无量纲化，得到（6）这里，在省略无量纲量上面的“－”后，，无粘通量、、，总能量和粘性应力张量等表达式的形式不变，定压比热从而粘性通量无量纲化后（省略无量纲量上面的“－”）成为Sutherland公式本身就是无量纲形式

2、的，而状态方程的无量纲形式为省略无量纲量上面的“－”，就是（7）以上的推导用以到下列关系式：Mayer公式，音速，来流马赫数，以及来流的状态方程。现在来改写粘性通量。为简化下面的推导，记，定义向量和矩阵则方程组（6）中的粘性通量可写成（8）3.坐标变换通过坐标变换（9）可将方程组（6）变换到计算域，形式为（10）式中这里（11）而是坐标变换的Jacobi行列式。方程组（10）的推导过程如下。用坐标变换的Jacobi行列式乘以方程组（6）的两边，得（12）利用求导的链式规则，对上式左边的无粘通量，有但是由（11）式同理就有同样地，对（12）式右边的粘性通量，也有注意到坐标变换（9）与

3、时间无关，可直接进入（12）式左边的时间导数项，就得到方程组（10）。4.粘性通量的简化记，则由（8）式，粘性通量又可写成（13）定义矩阵，则，可用消去法求得。先求得再求逆矩阵矩阵中的最后一行是由（2）式（已无量纲化）得到的。即其中。所以（13）式中的下面开始对粘性通量（13）式进行一系列的简化。首先，类似于薄层NS方程，在（13）式对求和的三项中只保留这一项；其次，对（13）式括号中的双重求和，只保留的三项。记（14）则粘性通量就简化成为注意到简化过程中保留下来的矩阵和矩阵都是下三角矩阵，因而（14）式中导数前面的整个系数矩阵仍是下三角矩阵，其特征值就是其对角线元素，即设，记，求

4、得该矩阵的谱半径为再用该谱半径近似代替（14）式中的系数矩阵，最终将粘性通量简化成（15）以上对粘性通量的简化仅用于差分格式的隐式部分。4.无粘通量的Jacobi矩阵方程组（10）中无粘通量的Jacobi矩阵定义为记向量和矩阵则无粘通量而无粘通量的Jacobi矩阵就是若记则于是向量可写成用的各分量可将的各分量表成这里用到了从（2）式导出的表达式通过计算，得其中是焓,是音速。下面是计算过程。为方便起见，改记，则，，首先，对，，所以而对，借助Dirac函数，有最后，，所以而所以，而4.三维无粘气体力学方程组的非守恒形式我们不直接计算矩阵的特征值和特征向量，转而考虑非守恒形式的三维气体力

5、学方程组（已无量纲化）（16）利用向量和矩阵则方程组（16）也可以写成向量形式（17）而方程组（6）在暂时略去粘性项之后写成即或与（17）式比较，可知定义矩阵则（18）此式表明矩阵与矩阵相似。因而，要计算矩阵的特征值，只需矩阵的特征值。而要计算矩阵的特征向量，可先计算矩阵的特征向量。下面计算矩阵的特征值。考虑行列式方程该行列式方程的根即为矩阵的，也就是矩阵的，特征值，这里。设、、、、是与矩阵的各特征值、、、、分别对应的特征向量，则总可以使它们成为一组线性无关的向量。以它们为列构成矩阵，则为可逆矩阵。同理，以矩阵的一组线性无关的特征向量、、、、为列也构成一个可逆矩阵。记对角矩阵，则有

6、，，即，从而由（18）式，有此式表明矩阵与之间有关系式，因此，只需求出矩阵及其逆矩阵，并利用矩阵及其逆矩阵，即可求得矩阵及其逆矩阵。欲求矩阵的特征向量，需求方程组的非零解。而欲求逆矩阵，可求的转置矩阵的特征向量，也就是方程组的非零解。设、、、、是矩阵的特征向量，则也可以使它们成为一组线性无关的向量，并满足正交条件如果不是重特征值，上述正交条件自动满足。再对、、、、进行归一化，即用除向量，还可以有。于是，以这组特征向量为行，即构成逆矩阵。对特征值，方程组成为即或这里。取，即得到非零解，也就是分别对应于特征值和的特征向量。对特征值，方程组成为即或按归一化的要求，取，即得到分别对应于特征

7、值和的特征向量。对特征值，方程组成为即任意，在有些文献中取下面三个向量作为其非零解但这组解中，当时前两个成为线性相关的，当或时甚至有一个成为零向量。这样一来，矩阵就不是可逆矩阵了。因此这一做法是有问题的。这里取因、、不能全为零，这组向量总是线性无关的非零向量。于是对特征值，方程组成为即所求之特征向量除需满足这一方程组外，还需满足正交条件由这些关系式，有即，也就是。此时上述正交条件成为按归一化的要求，取，即得到特征向量类似地，可求得最终得到对任一向量,记7.隐式格式及L