粘性流体的不可压缩流动

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1、Chapter9-1粘性不可压缩流体流动§1概述一、粘性不可压缩流动模型１、关于粘性粘性摩擦的存在必导致绕流阻力的存在，运动的衰减及涡量的扩散。在大数下，惯性力>>粘性力，采用理想流体模型，理想流体理论对不脱体绕流情况下的升力，压力分布和速度分布给出了符合实际的结果，但在阻力等与粘性效应相关的问题上却无能为力。因而，在研究阻力等起源于粘性的现象时须抛弃理想流体假设。在小数和中数情况下，粘性作用不可忽略。2、关于不可压缩流动（流体的压缩性对流动的影响可略）液体压缩系数小，一般可认为不可压缩（极端情况如激波等除外）。气体在低速运动（速度远小于声速）、非

2、定常时速度变化缓慢，且重力方向上流场的尺度<10km时，可略其压缩性。（当研究对流层（~10km）内大气运动时，不能忽略重力场引起的压缩效应）。３、基本方程组和边界条件均质不可压缩流体，且温度变化小，，故有求速度和压力场的完备方程组。能量方程用于求温度场本构方程用于求应力边界条件：在固壁表面上，流体的法向和切向速度分别等于固体表面的对应速度分量。在自由表面上，。二、粘性流动分类，求解问题的几种途径层流：流体运动规则、稳定，各部分分层流动互不掺混，质点轨迹光滑。脉线清晰湍流：流体运动极不规则、极不稳定，伴有高频扰动，各部分激烈掺混，质点轨迹杂乱无章。

3、决定流动状态的参数是数(Batchlorpage255)，<<2000一定是层流，此时粘性力足以保持流动的稳定。层流：极少有准确解（某些特殊的简单问题，非线性方程得以简化）近似解法：大数，边界层理论小数，部分或全部忽略惯性力。湍流：湍流理论（近似解法）三、粘性流动的一般特征1、运动的有旋性14由()知N一S方程可化为粘性不可压缩流动方程组改写为若则N-S方程化为Euler方程，粘性与无粘流动的区别就仅在于固壁上的无滑移边界条件。理想流体上述方程组在下有唯一解，此解一般不满足无滑移条件，也就是说，粘性不可压缩无旋流动的解一般不存在粘性不可压缩流动一般

4、是有旋运动。特例：点涡引起的理想流体二维流动在区域的解亦是的圆柱在粘性流体中匀角速度定轴转动引起的粘性流动。２、机械能的耗损性3、涡旋的扩散性与耗散性（北大）§9.5-9.6粘性不可压缩流动的一些准确解一、定常的单一方向流动1、平面Couette流动与Poiseuille流动两无限大平行平板，平板间充满均质不可压缩流体，间距，上板以速度沿轴方向运动，下板静止，研究板间流体的定常流动。由流动特点可知：，，，，。N-S方程：。边界条件：，。1）若沿轴方向无压差，流动仅由上板拖动引起，即称Couette流动，此时——简单剪切流动。142）上板、下板均不动

5、，，，则为Poiseuille流动，此时。3）平板所受粘滞力（以Couette流为例）或下板受切应力。4）拖动单位面积上平板外力做功功率。单位体积流体机械能耗散。单位面积平板板间流体柱内的总机械能耗散。例1求解粘性流体沿倾斜平板下泻的流动（考虑重力的影响，假设自由表面与平板平行）。边界条件：，公式(2)，代入(1)并考虑到(3)知------（4）设，则，代入（4）得。再利用边界条件得。讨论：1）若上边界处是自由表面，则由于边界上故；14另外自由表面要求，故。2）上板速度多大时，下板上摩檫应力为零，此时。2、截面均匀的圆管内的粘性层流（Hagen-

6、Poiseuille流动）无限长圆管内压强梯度力作用下的定常层流。假设外加压差不随时间变化，不考虑入口段流动（粘性作用尚未达到充分，速度剖面随离入口的距离变化）可假设管无限长。流体在压差作用下开始流动，当进入管中充分长距离后，粘性力达到与压强梯度力平衡，速度剖面不再变化，取柱坐标系如图，，。柱坐标系下原始方程见吴书（下册page229），此流动轴对称，仅考虑N-S方程的和两分量方程：则边界条件：，，另外附加有，有限；故讨论：①流量及平均速度,，可利用此关系通过测量流量来获得粘性系数。注关于压差（管长）的量纲分析解见余志豪习题解答page119。14

7、②流体层间的阻力：；轴上：；壁上：。阻力系数，其中。二、两同轴旋转圆柱间的定常流动（圆形流线情形，不计重力）流体充满两无限长同轴圆柱之间，两圆柱旋转角速度分别为。求解启动充分长时间后的定常流动。选取柱坐标系，由流动特点可知：，，，，，N-S方程：(1)式解释：压强梯度力提供向心力；(2)式解释：.(2)式即一一Euler方程，设代入得，故解为。边界条件：，；最后可得---------（3）讨论：1）应力张量分量，它代表任一流体柱壳外表面上的粘性应力，任一单位长流体柱壳外表面受摩擦力矩，与无关，因而该柱壳内外表面摩檫力矩平衡，故作定常运动。2）(3)

8、式中第一项表示刚性旋转(有旋流动)，第二项表示无旋运动.若（无内柱）则表示旋转的桶内流体与桶一起刚性旋转；14若无外柱壳则