不可压缩粘性流体动力学基础

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1、第七章不可压缩流体动力学基础第七章不可压缩理想流体的无旋运动§7–1流体微团运动分析§7–2有旋流动§7–3不可压缩流体连续性方程§7–4以应力表示的粘性流体运动微分方程§7–5应力和变形速度的关系§7–6纳维－斯托克斯方程§7–7理想流体运动微分方程及其积分§7–8流体流动的初始条件和边界条件学习基本要求及重点基本要求：掌握质点导数、流体微团的基本形式、有旋流动与无旋流动，N-S方程以及N-S方程的意义与应用。学习重点通过微元体分析法推导N-S方程。通过N-S方程简化得到欧拉方程、流体平衡微分方程。§7-1引言直到现在，我们只讨论了理想与粘性流体的一元流动。可是，有些空间问题，需要多元流动—

2、—即二元和三元的流动，即流场中流体的流动参量在二个或三个坐标轴方向都发生变化。本章论述流体的三元流动，主要内容是有关流体运动的基本概念和基本原理以及描述不可压缩流体流动的基本方程和定解条件。本章的研究以流体微团为对象。一、流体微团（MaterialElementsofFluid）流体微团是由大量的流体质点所组成的一个微小质团，它具有微小的体积，是研究流体运动的一个基本单元。流体微团的尺度在微观上足够大，大到能包含大量的分子，使得在统计平均后能得到其物理量的确定值，质点的尺度在宏观上又足够小，远小于所研究问题的特征尺度，使得其平均物理量可看成是均匀的；而且可以把流体微团看成是几何上的一个点。有了

3、连续介质假设就可以把流体的物理量作为空间坐标和时间的连续函数，充分利用数学分析这个有力的工具来解决流体力学问题。二、流体微团运动分析的目的1．按照微团有无旋转运动，可以将流动分为无旋流动和有旋流动两大类型，从而可以分别对它们深入进行研究。2．根据微团的线变形速度和角变形速度可以建立粘性切应力和附加切应力表达式，以简化运动方程式。三、流体微团运动的基本形式流体微团运动的基本形式为平移、旋转和变形，变形又分为线变形和角变形（参见图7-1）思考题：流体微团运动基本形式与刚体运动基本形式有何不同？流体运动可能同时具有这三种基本形式，也可能具有两种或一种形式，但流体微团是否发生旋转运动具有更重要的意义。

4、图7-1流体微团运动的基本形式§7-2流体微团运动分析由理论力学可知，刚体有平移和旋转两种运动形式，而流体运动则不同。由于流体微团在流场中各点的速度不同，但又要保持流体本身的连续性，因此流体微团除有平移和旋转运动外，还有变形运动。下面将分析流体微团的三种运动形式。如图7—2所示的平面运动中的流体微团。设在t时刻流体微团为矩形ABCD，经过时段后它移动到新的位置并变形为，又设t时刻角点A的速度为，根据泰勒级数展开，得B、C点的速度分别为图7-2分析流体微团的平面运动四点的速度中均包含有，由图7—2可见，是平移速度。以AB为例。因为角点B沿x方向的速度比角点A快（或慢），所以经过时段后，AB边在x

5、方向的伸长（或缩短）量为。单位时间单位长度的线变形称为线变形速度，并记为，则1、平移运动2、线变形运动（7—1）同理三个方向的线变形之和，，即为体积膨胀率。根据连续性方程可知，对于不可压缩流体，。3、旋转运动图7-2分析流体微团的平面运动而所以（1）（2）将流体微团上两条直线旋转角速度的平均值定义为流体微团的旋转角速度，记为，假设直线逆时针方向旋转的角速度为正，则由（1）（2）式可知，单位时间内AB边的旋转角度为，单位时间内AC边的旋转角度为，根据流体微团旋转角速度的定义得（7-2）将平面上角变形速度之半定义为流体微团的剪切变形速度，记为由图7-2可知，A点的角度变化为4、剪切变形图7-2分析

6、流体微团的平面运动根据流体微团剪切变形速度的定义得（7—3）而所以（1）（2）综上所述，可写出表示流体微团运动的基本形式如下：表示平移的平移速度：、、。表示线变形的线变形速度（又称线变率）：表示角变形的角变形速度（又称角变率）：表示转动的旋转角速度（又称角转速）5．流体微团速度分解公式（即Helmholtz速度分解定理）设微团内任一点O（x、y、z）在t时刻的速度分量为、、，距O点ds处的M点在同一时刻的速度分量为，，，将速度增量按泰勒级数展开：于是，M点的速度分量经过配项，整理有根据、、、和的表达式，可得同理可写出y和z方向两个速度分量表达式。上列三式中，右边第一项为平移速度，第二项为线变形

7、所产生的速度增量，第三、五项是由于转动所产生的速度增量，第四、六项是由于角变形所产生的速度增量。可见，流体微团的运动可以分解为平移运动、旋转运动和变形（包括线变形和角变形）。例题7－1（见教材page184）思考题：流体速度分解定理和刚体速度分解定理有何区别？因此，Ｍ点的速度可表示为§7-3有旋和无旋流动流体微团的旋转角速度在流场内不完全为零的流动称为有旋流动。比如大气中的龙卷风、管道中的流体运动